Помогите найти частные производные

[MilkyWay]

Здравствуйте! Проверьте пожалуйста мое решение:
\( z={e}^{({-x}^{2})}\cdot {(y+4x)}^{2} \)
\( \frac{dz}{dx}={(y+4x})^{2}\cdot (-2){e}^{{-x}^{2}}+{e}^{{-x}^{2}}\cdot 8(4x+y) \)
правильно?

[tig81]

Здравствуйте! Проверьте пожалуйста мое решение:
\( z={e}^{({-x}^{2})}\cdot {(y+4x)}^{2} \)
\( \frac{dz}{dx}={(y+4x})^{2}\cdot (-2){e}^{{-x}^{2}}+{e}^{{-x}^{2}}\cdot 8(4x+y) \)
правильно?

1. d должна быть круглая
2. нет, неправильно, от экспоненты перепроверьте производную

[MilkyWay]

Да, про d я знаю, но не нашла такого значка в LaTex((
\( \frac{dz}{dx}={(y+4x})^{2}\cdot (-2x){e}^{{-x}^{2}}+{e}^{{-x}^{2}}\cdot 8(4x+y) \)
правильно??
и вот другую частную производную найти попробовала:
\( \frac{dz}{dy}={e}^{{-x}^{2}}\cdot {(y+4x)}^{2}+{e}^{{-x}^{2}}\cdot 2(4x+y) \)

[tig81]

Да, про d я знаю, но не нашла такого значка в LaTex((

Код: [Выделить]

\partial - \( \partial \)

\( \frac{dz}{dx}={(y+4x})^{2}\cdot (-2x){e}^{{-x}^{2}}+{e}^{{-x}^{2}}\cdot 8(4x+y) \)
правильно??

да

и вот другую частную производную найти попробовала:
\( \frac{dz}{dy}={e}^{{-x}^{2}}\cdot {(y+4x)}^{2}+{e}^{{-x}^{2}}\cdot 2(4x+y) \)

а как эту находили?

[MilkyWay]

ой....по y же... вот так??
\( \frac{\partial z}{\partial y}=({e}^{{-x}^{2}})'{(y+4x)}^{2}+({e}^{{-x}^{2}})({(y+4x)}^{2})'=0\cdot {(y+4x)}^{2}+2{e}^{{-x}^{2}}(y+4x)=2{e}^{{-x}^{2}}(y+4x) \)

[tig81]

ой....по y же... вот так??
\( \frac{\partial z}{\partial y}=({e}^{{-x}^{2}})'{(y+4x)}^{2}+({e}^{{-x}^{2}})({(y+4x)}^{2})'=0\cdot {(y+4x)}^{2}+2{e}^{{-x}^{2}}(y+4x)=2{e}^{{-x}^{2}}(y+4x) \)

да, но лучше на экспоненту смотреть как на константу относительно у и сразу вынести ее за знак производной

[MilkyWay]

Хорошо А полный дифференциал будет выглядеть так?
\( dz=({-2x\cdot e}^{{-x}^{2}}{(y+4x)}^{2}+8{e}^{{-x}^{2}}(4x+y))dx+(2{e}^{{-x}^{2}}(4x+y))dy \)

[tig81]

Хорошо А полный дифференциал будет выглядеть так?
\( dz=({-2x\cdot e}^{{-x}^{2}}{(y+4x)}^{2}+8{e}^{{-x}^{2}}(4x+y))dx+(2{e}^{{-x}^{2}}(4x+y))dy \)

ну да, но можно еще упростить...

[MilkyWay]

и в этом же задании просят доказать, что \( \frac{{\partial}^{2}z}{\partial x \partial y}=\frac{{\partial}^{2}z}{\partial y \partial x} \)
\( \frac{{\partial}^{2}z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})= ({(y+4x})^{2})(-2x{e}^{-{x}^{2}}))'+(8(y+4x)(-{e}^{{-x}^{2}}))'=({(y+4x)}^{2})'(-2x{e}^{{-x}^{2}}))+({(y+4x)}^{2}(-2x{e}^{{-x}^{2}})')+(({e}^{{-x}^{2}})'(8(4x+y))+({e}^{{-x}^{2}})8(4x+y)')=2(y+4x)(-2x{e}^{{-x}^{2}})+{8e}^{{-x}^{2}}=-4x{e}^{{-x}^{2}}(4x+y)+8{e}^{{-x}^{2}} \)
\( \frac{{\partial}^{2}z}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=(2{e}^{{-x}^{2}}(4x+y))'=(2{e}^{{-x}^{2}})'(4x+y)+(2{e}^{{-x}^{2}})(4x+y)'=-4x{e}^{{-x}^{2}}(4x+y)+2{e}^{{-x}^{2}}\cdot 4=-4x{e}^{{-x}^{2}}(4x+y)+8{e}^{{-x}^{2}} \)
\( \frac{{\partial}^{2}z}{\partial x \partial y}=\frac{{\partial}^{2}z}{\partial y \partial x} \)
верно??

[Dimka1]

Конечные ответы верные. Преобразования не проверял.

[MilkyWay]

Спасибо!!!
а в задании с полным дифференциалом упростить можно выражение с dx, в итоге получим:
\(  (2{e}^{{-x}^{2}}(y+4x)(4-yx-4{x}^{2}))dx+(2{e}^{{-x}^{2}}(4x+y))dy \)
верно???

[Dimka1]

можно так.