Вычислить max min

[DeadChild]

Здравствуйте. Нужна помощь с заданием:
Вычислить \( max_{x\in [-4,4]}min_{y\in [-2,2]}(-x^2-\alpha xy + \alpha y^2) \). Каков алгоритм вычисления?

[mad_math]

Наверно, как с обычной функцией двух переменных: сначала найти частные производные и локальный экстремум, проверить при каких \( \alpha \) он попадает в указанный прямоугольник, затем найти наибольшие значения на границах прямоугольника.

[DeadChild]

\( -2x-\alpha y=0 \)
\( -\alpha x+2\alpha y=0 \)
из второго выражаю y: \( y=\frac{x}{\alpha} \)
тогда \( -2x-\alpha(\frac{x}{\alpha})=0 \), x=0 => y=0
Получается точка (0,0). При любых \( \alpha \). Так?

[mad_math]

Верно. Теперь нужно проверить, будет ли эта точка точкой экстремума: найти вторые производные и значение \( \Delta \) ссылка

[DeadChild]

A=-2, B=\( -\alpha \), C=2\( \alpha \)
\( \Delta=-4\alpha -\alpha^2 \)
\( \Delta=0 \) при \( \alpha=0 \) и \( \alpha=-4 \)
\( \Delta>0 \) при \( \alpha \in [-3,-1] \)
То есть имеем экстремум при \( \alpha \in [-3,-1] \)? Даже если А<0?

[mad_math]

Так как A<0, то имеем максимум при \( (-4;0) \)

[DeadChild]

Это будет ответом?

[mad_math]

Нужно ещё на границах области исследовать.

[DeadChild]

Как исследовать?

[mad_math]

Нужно найти максимум при \( x\in\left[-4;4\right] \).
Берём, x=4, y - любое, подставляем:
\( u=-16-4\alpha y+\alpha y^2 \)
Получаем функцию одного переменного, которую исследуем на экстремумы обычным методом.
У меня получилось \( \max(4;2)=-16-4\alpha \) при \( \alpha < 0 \)
Аналогично для x=-4.
При y=2 и y=-2 функция минимумов не имеет.

Но я не совсем уверена в правильности.

[DeadChild]

Нужно найти максимум при \( x\in\left[-4;4\right] \).
Берём, x=4, y - любое, подставляем:
\( u=-16-4\alpha y+\alpha y^2 \)
Получаем функцию одного переменного, которую исследуем на экстремумы обычным методом.
У меня получилось \( \max(4;2)=-16-4\alpha \) при \( \alpha < 0 \)
Аналогично для x=-4.
При y=2 и y=-2 функция минимумов не имеет.

Но я не совсем уверена в правильности.

Вы откуда это взяли? \( \max(4;2)=-16-4\alpha \)
Если продифференцировать u, то получается \( 4\alpha+2\alpha y \).
После приравнивания к 0 y=-2.

[mad_math]

Если продифференцировать, то получается \( -4\alpha+2\alpha y \)

[DeadChild]

Точно. Всё, поняла тогда откуда это взялось.
Спасибо.

[DeadChild]

А еще пару заданий можно в эту тему написать или лучше в новой?

[tig81]

А еще пару заданий можно в эту тему написать или лучше в новой?

лучше в новой