определить собственные числа и собственные векторы

[granatka]

Линейного оператора, заданного матрицей:

(1   0   0
 1   2   1
 -1  0   1)

AX=sX;

Из моего решения получились собственные числа s1=1, s2=2. Но найти векторы - для меня проблема. Вот как я это делаю:

1)   При s1=1

 0   0   0           x1
 1   1   1    *     x2    =0
 -1  0   0          x3

x1+x2+x3=0,
-x1=0

Решим систему методом Гаусса:

A|X = 1  1  1  0  =  1  1  1  0
        -1  0  0  0     0  1  1  0

x1+x2+x3=0,
x2+x3=0

Ранг матрицы  А равен рангу расширенной матрицы: r=2, n=3, r<n => система имеет бесконечное множество решений.

x1 и x2 – базисные переменные
x3 – свободная переменная

x1+x2=-x3,
x2=-x3.

Полагаем  x3=1, тогда x2=-1, x1=0.

                                        0
Таким образом, при s=1 X= -1  
                                            1

2)   При s=2

 -1   0    0           x1
  1   0    1    *     x2    =0
 -1   0   -1          x3

-x1=0,
X1+x3=0,
-x1-x3=0

Решим систему методом Гаусса:

         -1  0    0   0       -1   0   0   0        -1  0   0   0  
A|X=  1    0   1   0   =    0    0  1   0   =     0  0   1   0   =  -1  0  0  0
        -1   0   -1  0         0   0  -1   0         0  0   0   0        0   0  1  0

-x1=0,
X3=0

Ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы: r=2, n=3, r<n  =>система имеет бесконечное множество решений.

Полагаем  x2=1, Тогда x1=0, x3=0.
                                                                      0
Таким образом, при s=2 собственный вектор X=  1
                                                                         0

Думаю, что это решение неправильно. Так как вторую часть (2) вообще делала наугад. Помогите пожалуйста разобраться! Принцип нахождения собственного числа и вектора я поняла, но матрица не совсем удачная…  

[tig81]

Линейного оператора, заданного матрицей:

(1   0   0
 1   2   1
 -1  0   1)

AX=sX;

Из моего решения получились собственные числа s1=1, s2=2.

для матрицы третьего порядка собственных значения должно быть три, не указали, что одно из собственных значений кратно, т.е. s1=s2=1, s3=2

1   0   0           x1
 1   2   1    *     x2    =0
 -1  0   1          x3

Что это за система?

Для начала надо посмотреть примеры решения...
ссылка

[granatka]

для матрицы третьего порядка собственных значения должно быть три, не указали, что одно из собственных значений кратно, т.е. s1=s2=1, s3=2

значит и количество соответствующих векторов нужно указывать тоже три?

 

Что это за система?
Для начала надо посмотреть примеры решения...
ссылка

Это матричное уравнение. Делала по примеру : ссылка

[granatka]

В примере по ссылке решебник.ру для двух одинаковых собственных чисел указаны разные векторы.. Нужно подставлять разные значения x или можно указать одинаковые?

[tig81]

значит и количество соответствующих векторов нужно указывать тоже три?

их не нужно указывать, их ДОЛЖНО получится три

Это матричное уравнение. Делала по примеру : ссылка

Как составляли матричное уравнение?

Почему для первого собственного значения матрица не отличается от заданной матрицы?

[tig81]

В примере по ссылке решебник.ру для двух одинаковых собственных чисел указаны разные векторы.. Нужно подставлять разные значения x или можно указать одинаковые?

Про какие значения идет речь? Как находить ФСР однородной СЛАУ знаете?

[granatka]

Как составляли матричное уравнение?
Почему для первого собственного значения матрица не отличается от заданной матрицы?

Да, действительно.. описка. Решала я по правильной матрице, но поскольку в сообщении матрица вбивалась вручную, а не с помощью формул, допустила такую ошибку.. Каюсь 

[granatka]

Про какие значения идет речь? Как находить ФСР однородной СЛАУ знаете?

Знаю ФСР для обыкновенных СЛАУ.
Я имела в виду значения, которые мы подставляем в общее решение, например:

Полагаем  x3=1, тогда x2=-1, x1=0.

[tig81]

Знаю ФСР для обыкновенных СЛАУ.

Что вкладываете в понятие "обыкновенных СЛАУ"?

Я имела в виду значения, которые мы подставляем в общее решение, например:

Показывайте решение, вопрос не совсем понятен

[granatka]

Что вкладываете в понятие "обыкновенных СЛАУ"?

Неоднородных СЛАУ

Показывайте решение, вопрос не совсем понятен

Попробую спросить по-другому))
 Скрин из примера:


Если лямбда1 и лямбда2 равны, то как вектора Х1 и Х2 получились разные? Вот я о чём

[tig81]

Неоднородных СЛАУ

Понятие ФСР определено только для однородных СЛАУ

Попробую спросить по-другому))
Если лямбда1 и лямбда2 равны, то как вектора Х1 и Х2 получились разные? Вот я о чём

С1 и С2 придавали различные значения.
Вот здесь как раз ФСР однородной СЛАУ

[granatka]

Что касается количества векторов, и как их находят вроде понятно. Спасибо за разъяснения А что можете сказать по поводу ответов моего задания? они правильные?

[tig81]

А что можете сказать по поводу ответов моего задания? они правильные?

для кратного собственного значения не найден еще один вектор, два остальных найдены верно

[granatka]

для кратного собственного значения не найден еще один вектор, два остальных найдены верно

Спасибо большое!!! Очень помогли!
Для кратного уже тоже нашла

[tig81]

Для кратного уже тоже нашла

а после приведения матрицы к ступенчатому виду, какая матрица в итоге получилась?