Теория вероятности, задачи на разные темы

[Diligent13]

1. На плоскости проведено n прямых, причем никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. сколько точек пересечения имеют эти прямые? (элем комбинаторики) Это сочетания или размещения?
2. В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность ответа на первый вопрос - 0,9, на второй -0,8 , на третий - 0,6 . Найти вероятность различных оценок. ( теоремы слож и умнож) Незнаю какую ормулу использовать. их много.
3. В освещении помещения фирмы используются 18 лампочек. Для каждой лампочки вероятность того, что она останется исправной в течение года, равна 7/8. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить меньше половины всех лампочек? Вот незнаю какую формулу. Интег теорема Лапласа? Если так то ответ ненормальный выходит.
4.Вероятность выздоровления больных при применении нового лекарства составляет 86%.тВ больницу на лечение положили 126 больных. Какова вероятность того, что 118 из них вылечатся? А тут какая формула? Бернулли? Тоже ответ слишком большой получается.
5. Каждая из 100деталей подвергается двум испытаниям. Вероятность выхода из строя каждой детали при первом испытании равна 0.1, при втором 0,2 . Найти закон распределения и матем ожидание числа X вышедших из строя деталей. Вообще без понятия с чего начинать  решать.
6. Найти матем ожидание и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, зная закон ее распределения : x1 = 6, p1=0,2, x2 = 3, p2= 0,3, x3 = 1, p3=0,5. матем ожидание нашла сред квадр отклонение незнаю как.

[tig81]

для задач на разные темы правила они и те же.
Мы не решаем за вас... Выкладывайте свои наработки

[Diligent13]

1. т к никакие две не параллельны, следовательно нет параллельных прямых -> все прямые имеют точки пересечения. т.к. никакие три не пересекаются в одной точке, значит пересекаться могут только по две прямые. порядок прямых неважен , поэтому считаю что это сочетания. Тогда по формуле сочетаний получается n!/(k!*(n-k)!)= n!/(2!*(n-2)!). так или не так? вобще правильную форму употребила?

2. также неуверена что применила правильную формулу. событие А - получение различных оценок. р1=0,9, р2=0,8, р3=0,6. получаем q1=0,1, q2=0,2, q3=0,4.  Получается Р(А)= 1-0,1*0,2*0,4 = 1-0,08 = 0,992. Так решать?

3. n=18, p=7/8, q=1/8, т.к меньше половины то k1=1, k2=8. вот незнаю какую формулу лучше употребить Бернулли или интегр формула Лапласа? если интегр лапласа то получается P=Ф(x2)-Ф(x1).
х= (k-np)/(sqrt (npq)), х1=(1-18*(7/8))/(sqrt(18*(7/8)*(1/8))) = -14,75 / sqrt(1,96875)= -10,5122, x2=(8-18*(7/8))/(sqrt(1,96875)) = -5,5234
P= Ф(х2)-Ф(х1) = Ф(-5) - Ф(-10) = -0,5- (-0,5) = 0. Вероятность может равняться 0 ? Правильную формулу применила или лучше использовать Бернулли?
4. Формула Бернулли? если так то n= 126, k=118, p=0.86, P=C^k_n *p^k *q^n-k = С¹¹⁸₁₂₆*0.86¹¹⁸*0.14^126-118 = 0,0034578.

6. кажется сделала. М(х)=6*0,2+3*0,3+1*0,5 = 2,6.
М(х²) = 6²*0,2 +3*3*0,3 +1*1*0,5 = 10,4.
D(х) = 10,4 - 2,6*2,6 = 3,64
ср квад откл = sqrt(3,64)  Правильно?

А вот 5 совсем незнаю что чем обозначить, с чего начать и какую формулу применять.

[Dev]

1. Правильно. Проверьте для двух, трёх, 4 прямых - это же просто.

2. также неуверена что применила правильную формулу. событие А - получение различных оценок. р1=0,9, р2=0,8, р3=0,6. получаем q1=0,1, q2=0,2, q3=0,4.  Получается Р(А)= 1-0,1*0,2*0,4 = 1-0,08 = 0,992. Так решать?

Вы нашли вероятность того, что хотя бы на один вопрос будет дан ответ. Попробуйте прочесть условие и понять, что спрашивалось. Может быть там написано "вероятности различных оценок"?

3. \( n=18 \), \( p=7/8 \), \( q=1/8 \), т.к меньше половины то k1=1, k2=8. вот незнаю какую формулу лучше употребить Бернулли или интегр формула Лапласа? если интегр лапласа то получается \( P=\Phi(x2)-\Phi(x1) \).
\( x= (k-np)/(\sqrt{npq}) \),
\( x1=\frac{1-18*(7/8)}{\sqrt{18*(7/8)*(1/8)}} = -14,75 / \sqrt{1,96875}= -10,5122 \),
\( x2=\frac{8-18*(7/8)}{\sqrt{1,96875}} = -5,5234 \)
\( P= \Phi(x2)-\Phi(x1) = \Phi(-5) - \Phi(-10) = -0,5- (-0,5) = 0 \). Вероятность может равняться 0 ? Правильную формулу применила или лучше использовать Бернулли?

Во-первых, тоже читаем условие. При \( p=7/8 \), даже если бы при 18 испытаниях можно было пользоваться предельной теоремой, Вы нашли вероятность числу успехов (успех - с вероятностью \( p \)) быть меньшим половины. А что требовалось в задаче? Число 18 маловато для предельной теоремы. Лучше использовать формулу Бернулли.

А ещё посмотрите, насколько отличаются формулы, стоит только, выделив формулу, нажать кнопочку "тех" и оформить внутри корень как \sqrt{...}, Ф как \Phi, а все буквы в формулах - латинскими, и это ещё не говоря о дробях \frac{...}{...}.

4. Формула Бернулли? если так то n= 126, k=118, p=0.86, P=C^k_n *p^k *q^n-k = С¹¹⁸₁₂₆*0.86¹¹⁸*0.14^126-118 = 0,0034578.

Это хорошо, что калькулятор у Вас справляется с такими числами. Вообще-то задача на локальную теорему Муавра - Лапласа.

6. Правильно

А вот 5 совсем незнаю что чем обозначить, с чего начать и какую формулу применять.

Поэтому и не можете, что ищете "какую формулу применить". Для одной детали то, что требуется в задаче, сделать можете?

[Diligent13]

2. различные оценки = 3,4,5 , т е вероятность получения какой-либо из оценок 1/3. он должен получить и 3 и 4 и 5. тогда может так? P= (1/3)*0,9+(1/3)*0,8+(1/3)*0,6 = 0,76.
5. 2 испытания. значит деталь может выйти из строя при первом либо при втором испытании либо не выйти вообще. может p1+p2+q1*q2 ?

[Dev]

2. т е вероятность получения какой-либо из оценок 1/3

Это Вы откуда такое взяли? Прочтите условие задачи и скажите, когда студент получит три. Правда, об этом по условию можно только догадываться, но не суть важно.

5. 2 испытания. значит деталь может выйти из строя при первом либо при втором испытании либо не выйти вообще. может p1+p2+q1*q2 ?

Возьмите для проверки \( p_1=p_2=1 \) и все вопросы сразу отпадут. А потом, как число, которое Вы сосчитали, связано с тем, что надо найти? Итак, есть одна деталь (а не 100). Случайная величина \( X \) - (далее по тексту, только деталь одна). Что требуется найти? 

[Diligent13]

2. Прочтите условие задачи и скажите, когда студент получит три. Правда, об этом по условию можно только догадываться, но не суть важно.

наверное на первый вопрос 5, на второй 4, на третий 3. но как это найти то? по какой формуле?

 

5. Итак, есть одна деталь (а не 100). Случайная величина - (далее по тексту, только деталь одна). Что требуется найти?

надо найти закон распределения и матем ожидание вышедших из строя деталей. событие А- выход детали из строя . X- число появлений событий А
тогда при x=0, p=q. деталь не вышла из строя. и при x=1, p=p  деталь вышла из строя . и при втором испытании такая же таблица. получается

х 0 1 p q p = х  0    1 p 0,9 0,1 при первом испытании и при втором испытании будет: х  0    1 р 0,8 0,2 тогда матем ожидание сложить эти две таблицы чтоли? 3. даже если бы при 18 испытаниях можно было пользоваться предельной теоремой, Вы нашли вероятность числу успехов (успех - с вероятностью ) быть меньшим половины. А что требовалось в задаче? Число 18 маловато для предельной теоремы. Лучше использовать формулу Бернулли Значит надо найти вероятность оставшихся исправных? тогда от 9 до 18 лампочек останутся исправными. здесь находить для каждой лампочки отдельно? вероятности при каждой k и потом сложить все вероятности?  или просто от 9 до 18 - 10 лампочек останутся исправными. P= C1018\( *(\frac{7}{8})^{10}*(\frac{1}{8})^{18-10} \) = \( \frac{18!}{10!*8!}*(\frac{7}{8})^10*(\frac{1}{8})^8 \) = 6,8615  так? или для каждой k отдельно? 4.Это хорошо, что калькулятор у Вас справляется с такими числами. Вообще-то задача на локальную теорему Муавра - Лапласа Тогда \( P= \frac{1}{\sqrt{npq}}*\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{(126*0,86*0,14)}}*\phi(x) = 0,25674*\phi(x) \) \( x= \frac{118-126*0,86}{\sqrt{(126*0,86*0,14)}}= 2,4750 , \phi(x)= 0,01888 \).  P= 0,00462132    Теперь правильно?

[Diligent13]

Порядок важен, поэтому это размещения. тогда C⁵₁₂ =\( \frac{12!}{5!*(12-5)!} \) = 792 способа.

Ой формулу спутала. размещения A⁵₁₂=\( \frac{n!}{(n-k)!} \)= \( \frac{12!}{(12-5)!}=95040 \)способов так?

3.

Так учитывать порядок или нет?   
Разумеется, учитывать: посмотрите на 216 исходов: в них порядок учтён или не учтён?

А тогда в задаче Два игрока бросают по очереди 3 кости.  Если сумма оказывается равной 9 то выигрывает первый, если 12 то выигрывает второй. У кого больше шансов на выигрыш?
3 кости одновременно бросаются, значит здесь порядок не учитывается. так?
получается брать \( p1=\frac{6}{216} \) или \( p1=\frac{6}{18} \) ? или если 3 кости одновременно то 6+6+6, брать 6/18?
у второго такая же вероятность, получается одинаковы шансы. но если у первого сразу выпадет 9 то он выиграл не дожидаясь хода второго. значит у первого больше шансов . правильно?

[Dev]

2. Прочтите условие задачи и скажите, когда студент получит три. Правда, об этом по условию можно только догадываться, но не суть важно.

наверное на первый вопрос 5, на второй 4, на третий 3. но как это найти то? по какой формуле?

Вы вообще нормальные экзамены-то сдавали хоть раз? Когда Вы получите 5, если в билете три вопроса? 4? 3?

Ещё раз: никто Вам не будет подсказывать, в какую формулку какие цифирки подставить. Либо Вы умеете работать с событиями и знаете свойства вероятностей, либо следует этому научиться.

[Dev]

надо найти закон распределения и матем ожидание ЧИСЛА вышедших из строя деталей. событие А- выход детали из строя . X- число появлений событий А
тогда при x=0, p=q. деталь не вышла из строя. и при x=1, p=p  деталь вышла из строя . и при втором испытании такая же таблица. получается

х 0 1 p q p = х  0    1 p 0,9 0,1 при первом испытании и при втором испытании будет: х  0    1 р 0,8 0,2 тогда матем ожидание сложить эти две таблицы чтоли?

Математическое ожидание, распределение и т.п. бывает у случайной величины! А никак не у детали! В данном случае - у числа (количества) деталей.

Зачем Вам нужны какие-то две отдельные таблицы? Есть одна деталь. Над ней проводятся две проверки. \( X=0 \) или \( X=1 \) - число вышедших из строя деталей из этой одной в результате двух проверок. Найдите \( \mathsf P(X=0) \). Ещё раз: если Вы этого не умеете, берите учебник, изучайте
а) события и операции над ними
б) свойства вероятностей.
После этого находите нужную вероятность.

[Dev]

3 кости одновременно бросаются, значит здесь порядок не учитывается. так?

посмотрите на 216 исходов: в них порядок учтён или не учтён?

[Dev]

Значит надо найти вероятность оставшихся исправных? тогда от 9 до 18 лампочек останутся исправными. здесь находить для каждой лампочки отдельно? вероятности при каждой k и потом сложить все вероятности? 

Разумеется, сложить. Только почему от 9? Заменить меньше половины = останутся исправными больше половины. И почему же "для каждой лампочки"? Разве \( k \) - это номер лампочки? Выясните ещё раз, вероятность какого события вычисляет выражение \( C_n^k p^k q^{n-k} \).

или просто от 9 до 18 - 10 лампочек останутся исправными.

От 9 до 18 - это не 10 лампочек останутся исправными, а от 9 до 18 лампочек останутся исправными! Себя-то хоть читайте 

4-я правильно.

[Diligent13]

3.

или просто от 9 до 18 - 10 лампочек останутся исправными.

От 9 до 18 - это не 10 лампочек останутся исправными, а от 9 до 18 лампочек останутся исправными

может интегр теорема лапласа все таки? 18 вполне хватает для нее. тогда будет P₁₈(9,18)=\(  \Phi(x2)-\Phi(x1) \)
x1= \( \frac{9-18*0,875}{\sqrt{18*0,875*0,125}} \)= -4,8107, \( \Phi(x1)= \)0,4452
x2=\( \frac{18-18*0,875}{\sqrt{18*0,875*0,125}} \)}= 1,60356   \( \Phi(x2) \)= -0,5
P₁₈(9,18)= 0,4452-(-0,5)= 0,9452
Так можно решить?

2.

Вы вообще нормальные экзамены-то сдавали хоть раз? Когда Вы получите 5, если в билете три вопроса? 4? 3?

Кажется дошло. А1- ответил на 1-й вопрос, А2 - Ответил на 2-й вопрос, А3- ответил на 3-й вопрос. p1=0,9, p2=0,8, p3=0,6
Если ответит на все 3 вопроса. получит 5, если на 2 то 4, если на 1 то 3.
P1- вероятность что получит 5. P1= p1*p2*p3= 0,9*0,8*0,6=0,432
P2- вероятность что 4. P2 = p1*p2*q3+p2*p3*q1+p1*p3*q2= 0,9*0,8*0,4+0,8*0,6*0,1+0,9*0,6*0,2= 0,288+0,048+0,108=0,444
P3 - вероятность что 3. P3 = p1*q2*q3+p2*q1*q3+p3*q1*q2= 0,116
так?  а эти вероятности так оставить или еще сложить?

[Dev]

18 не достаточно, даже если вероятность успеха 1/2. Но тогда величина \( npq \), которая должна быть сравнительно велика (не меньше 6) для возможности использования предельных теорем, будет хотя бы более-менее велика. А когда p=7/8, q=1/8, то \( npq < 2 \), это уж совсем мало. Погрешность вычислений по интегральной теореме - порядка одной десятой. Вряд ли такой ответ будет удовлетворителен. Но, как говорится, вольному воля.

И ещё раз: НЕ от 9 до 18, а от 10 до 18!

Последняя верно. Только что-то Вы забыли про двойку. А зачем Вы хотите складывать вероятности? Чтобы что получить? Вероятность ответить на что-нибудь кроме двух? Спрашивалось разве про это?

[Diligent13]

двойку получит при P=q1*q2*q3.

тогда если бернулли то P=C⁹₁₈* p⁹*q^18-9 так чтоли?