Зачет по геометрии

[Andrew542]

В четверг зачет, надо решить 6 задач, помогите пожалуйста
1)Плоскость альфа пересекает AB и AC  в точках B1 и C1 ; BC параллельна альфа; AB:B1B=5:3; Ac=15 Найти AC1
Дальше выложу по мере решения

[Andrew542]

Верно ли будет делать вот так:
Треугольники АВС и АВ1С1 подобны, т.к. В1С1 параллельна ВС (иначе плоскость пересечёт ВС, а она ей параллельна). Следовательно, по теореме Фалеса АВ/B1B = AC/C1C=5/3. Отсюда, С1С=3 АС/5 =9.
АС1 = 15-9 =6
Ответ: 6

[Белый кролик]

Я б такое решение не принял. Хотя решили вы правильно. Вы же в 10 классе? Учите стереометрию, верно?

Треугольники АВС и АВ1С1 подобны,

верно

т.к. В1С1 параллельна ВС (иначе плоскость пересечёт ВС, а она ей параллельна).

Это признаки подобия? Вы не доказали мне, что треугольники подобны.

Когда вы докажете, что АВС подобен \( A{B}_{1}{C}_{1}  \), то из свойств подобных треугольников (а одно из свойст гласит, что в подобных треугольниках стороны пропорциональны), сможете составить пропорцию и найти нужную сторону. Ну или по теорема Фалеса, как вы сделали, дело вкуса.

Вывод: ответ верный, но подобие вы не доказали.

[Andrew542]

Да, вы верно сказали, я в 10 классе 
У меня немного не получается рисунок к этой задаче, не могли бы помочь с рисунком?

[Andrew542]

Будет ли верно такое доказательство:
Они подобны, т.к. угол А - общий, ВС||В1С1, т.е. угла АВС=АВС и АСВ=АС1В1, т.е. подобие по 3 углам. Значит и стороны пропорциональны.

[Белый кролик]

Признаки подобия:
1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника. и углы образованные этими углами равны.
3. Три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

[Andrew542]

Получается тут надо пользоваться 3 способом подобия?

[Белый кролик]

Получается тут надо пользоваться 3 способом подобия?

Ха-ха. 1-м. Вы немножко передоказали.

[Andrew542]

То есть надо написать, что угол B=B1 , C=C1, следовательно данные треугольники подобны?
А угол A-общий

[Andrew542]

Не то написал, у нас получаются углы: угол A-общий и угол B=B1.
Верно?

[Белый кролик]

Есть в математике такой принцип что ли:необходимо и достаточно.
Вам необходимо доказать, что 2 угла равны двум другим углам и этого достаточно.
Лучше написать, что А - общий (обязательно)  и В=В1 (или С=С1)

[Белый кролик]

Не то написал, у нас получаются углы: угол A-общий и угол B=B1.
Верно?

Верно.
Первая задача решена.

[Andrew542]

Треугольники АВС и АВ1С1 подобны, т.к. А - общий (обязательно)  и В=В1 Следовательно, по теореме Фалеса АВ/B1B = AC/C1C=5/3. Отсюда, С1С=3 АС/5 =9.
АС1 = 15-9 =6
Ответ: 6

Вот так тогда напишу 1 задачу, а вы говорили, что можно написать еще пропорцию, можно узнать, какая тут будет?

[Белый кролик]

Вместо теоремы Фалеса можно применить свойства подобных треугольников:

\( AB = A{B}_{1}+{B}_{1}B \)
5 частей = х частей + 3 части
\( A{B}_{1} \) = 2 части

Так как треугольники \( ABC\sim A{B}_{1}{C}_{1}  \), следовательно их стороны пропорциональны.

\(  \frac{AB}{A{B}_{1}}=\frac{5}{2}=\frac{AC}{A{C}_{1}}=\frac{BC}{{B1}_{C1}} \)

\(  \frac{AC}{A{C}_{1}}=\frac{5}{2} \)

\( {A{C}_{1}}=\frac{2AC}{5} \)

[Andrew542]

Спасибо!
2)Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B.C и середину ребра AD вычислите периметр сечения.

Верно ли будет так:

Все ребра тетраэдра равны поэтому он правильный тетраэдр.
Пусть Е - середина ребра AD. Проведем высоту АК(она будет и медианой) в правильном треугольнике АВС.
Сечение тетраэдра - треугольник ЕСВ.
 
Треугольники АЕС и АЕВ равны за двумя сторонами и углом между ними
(АЕ=АЕ, АС=АВ, угол ЕАС=угол ЕАВ=60 градусов)
З равенства треугольников следует равенство ЕС=ЕВ.
 
Медиана равнобедренного треугольника является его высотой и биссектрисой.
Треугольник ЕСВ равнобедренный (ЕС=ЕВ).
ЕК - высота треугольника ЕСВ.
АК=АВ*корень(3)/2=2*корень(3)/2=корень(3).
 
За теоремой о трех перпендикулярах. Треугольник АЕК прямоугольный с прямым углом АЕК.
по теореме Пифагора
ЕК=корень(AK^2-AE^2)=корень((корень(3))^2-1^2)=корень(2)
ЕС=ЕВ=корень(EK^2+BK^2)=корень(1^2+(корень(2))^2)=корень(3)
Периметр сечения(треугольника ЕСВ) Р=ЕС+ЕВ+ВС=2+корень(3)+корень(3)=
=2+2*корень(3)