Дифференциальные уравнения

[Morskaya]

Доброго времени суток  Решила уравнение дифференциальное. Будьте добры, проверьте, а если решение неверное (в чем я уверенна, но вариантов больше никаких у меня нет), направьте на правильный путь:

\( 2{x}^{2}y^\prime={x}^{2}+{y}^{2} \)

Проверяю, однородно ли уравнение:

\( x=zx \)
\( y=zy \)

\( 2{(zx)}^{2}y^\prime=({zx})^2+{(zy)}^2 \)

\( 2{z}^{2}{x}^{2}y^\prime={z}^{2}{x}^{2}+{z}^{2}{y}^{2} \)

\( 2{z}^{2}{x}^{2}y^\prime={z}^{2}({x}^{2}+{y}^{2}) \)

\( 2{x}^{2}y^\prime={x}^{2}+{y}^{2} \)  уравнение однородное

Произвожу замену:

\( y=tx \)

\( {y}^\prime={t}^\prime{x}+t \)

\( 2{x}^{2}({t}^\prime{x}+t)={x}^{2}(1+{t}^{2}) \)

\( 2{t}^\prime{x}+2t=1+{t}^{2} \)

\( 2{x}{t}^\prime={t}^{2}-2t+1 \)

\( 2x\frac{dt}{dx}={t}^{2}-2t+1 \)

\( 2xdt=({t}^{2}-2t+1)dx \)

\( \frac{dt}{({t}^{2}-2t+1)}=\frac{dx}{2x} \)

\( \int\frac{dt}{{t}^{2}-2t+1}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x} \)

В знаменателе левой части, решила уравнение

\( \int\frac{dt}{1}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x} \)

\( \int{dt}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x} \)

Произвела обратную замену:

\( t=\frac{y}{x} \)

\( \frac{y}{x}=\frac{1}{2}ln|x|+C \)

\( \frac{y}{x}-\frac{1}{2}ln|x|=C \)

[tig81]

В знаменателе левой части, решила уравнение

\( \int\frac{dt}{1}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{x} \)

И что это дало? И почему знаменатель стал равен 1? Его просто надо было свернуть по формуле квадрат разности