Решите уравнение

[Nukede]

Вот такое незамысловатое уравнение:
\( 3x^7+x^4+8x-10=(35-3x)^{\frac{1}{5}} \)
Но не знаю как решать. Если раскрывать и переносить все в одну сторону - огромные вычисления, что вряд ли.
Методом подбора, я пришел к ответу "1" - теперь его нужно обосновать.

[tig81]

Вот такое незамысловатое уравнение:
\( 3x^7+x^4+8x-10=(35-3x)^{\frac{1}{5}} \)
Но не знаю как решать. Если раскрывать и переносить все в одну сторону - огромные вычисления, что вряд ли.
Методом подбора, я пришел к ответу "1" - теперь его нужно обосновать.

а левая часть делится на (35-3х)?

[Nukede]

Нет, ничего хорошего я "наделить" не смог.

[Dimka1]

на основании следствия теоремы о корне (“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”)Ваше уравнение имеет 1 корень.

Слева у Вас функция возр., а слева - убывающая, так что один корень уравнения Вы нашли и больше их нет.

[Nukede]

на основании следствия теоремы о корне (“Если функция y=f(x) возрастает, а функция y=g(x) убывает и если уравнение f(x)=g(x) имеет корень, то только один”)Ваше уравнение имеет 1 корень.

Слева у Вас функция возр., а слева - убывающая, так что один корень уравнения Вы нашли и больше их нет.

А чтобы доказать, что функция убывает\возрастает нужно брать производную?
Если так, то:
\( 3x^{ 7 }+x^{ 4 }+8x-10=(35-3x)^{ \frac { 1 }{ 5 }  }; \)
\( 21x^6+4x^3+8;  \)
\( \\-\frac{3}{5(35-3x)^{\frac{4}{5}}} \)

[Dimka1]

Да и показать, что производная слева всегда больше 0, а производная справа меньше нуля.

[Nukede]

\( -\frac { 3 }{ 5(35-3x)^{ \frac { 4 }{ 5 }  } } <0; 35-3x=0;\quad x=11\frac{2}{3} \)
Она ведь не всегда меньше 0;
Получается отрезок от (-\( \infty  \);\(  11\frac{2}{3} \))

[Dimka1]

\( -\frac { 3 }{ 5(35-3x)^{ \frac { 4 }{ 5 }  } } <0; 35-3x=0;\quad x=11\frac{2}{3} \)
Она ведь не всегда меньше 0;
Получается отрезок от (-\( \infty  \);\(  11\frac{2}{3} \))

\(  - \frac{3}{{5\sqrt[5]{{{{\left( {35 - 3x} \right)}^4}}}}} \)

под корнем всегда положительное число, т.к. под ним четная степень. Корень нечетной степени из положительного числа = положительному числу. Т.к. перед положительным числом минус, то все значения, полученные из указанного выражения, всегда отрицательные. Сл-но, производная меньше нуля

Ну график уж постройте (если не верите)

[Nukede]

Ну график уж постройте (если не верите)

Уже построил, действительно все время убывает.

[Dimka1]

Ну график уж постройте (если не верите)

Уже построил, действительно все время убывает.

сложно все это и без компа не эффективно