Помогите вычислить интеграл

[MeSS]

Дан интеграл \( \iint_{S} \sqrt(R^2-x^2-y^2) \) по области S:\( x^2+y^2 \leq Rx \) нужно вычислить его значение. Ответ я знаю \( \frac{\Pi*R^3}{3} -\frac{4*R^3}{9} \) ,но никак не могу к нему прийти. Для решения пробовал перейти к полярным координатам.Помогите найти ошибку: \( \int_{\frac{-\Pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2} }d\varphi \int_{0}^{R*\cos(\varphi)  } \sqrt{R^2-\rho ^2}\rho d\rho  \)

[tig81]

Дан интеграл \( \iint_{S} \sqrt(R^2-x^2-y^2) \) по области S:\( x^2+y^2 \leq Rx \) нужно вычислить его значение. Ответ я знаю \( \frac{\Pi*R^3}{3} -\frac{4*R^3}{9} \) ,но никак не могу к нему прийти. Для решения пробовал перейти к полярным координатам.Помогите найти ошибку: \( \int_{\frac{-\Pi}{2}}^{\frac{\Pi}{2} }d\varphi \int_{0}^{R*\cos(\varphi)  } \sqrt{R^2-\rho ^2}\rho d\rho  \)

приводите полное решение, с рисунком области и что как выводили, посмотрим

[MeSS]

[tig81]

после того, как нашли интеграл по ро и подставили пределы интегрирования, не поняла откуда взялся сомножитель R^3?

[MeSS]

Когда подставляю пределы интегрирования: \(  (R^2-(Rcos(\varphi))^2))^{3/2}-(R^2-0)^{3/2}=(R^2*(1-cos(\varphi)^2))^{3/2}... \)

[tig81]

Когда подставляю пределы интегрирования: \(  (R^2-(Rcos(\varphi))^2))^{3/2}-(R^2-0)^{3/2}=(R^2*(1-cos(\varphi)^2))^{3/2}... \)

а, то там минус, тогда разность функций надо брать в скобки, чтобы вопросов не возникало

а дальше чего интеграл не вычисляете?

[MeSS]

я вычисляю,но интеграл с синусами обнуляется,в этом и загвоздка

[tig81]

я вычисляю,но интеграл с синусами обнуляется,в этом и загвоздка

приводите полное решение

[MeSS]