Автор Тема: задача  (Прочитано 2221 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн vladen

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 20
    • Просмотр профиля
задача
« : 14 Ноября 2009, 16:59:06 »
Задача. Числа a, b, c (0<a<b<c<П) образует арифметическую прогрессию. Докажите что квадратное уравнение (sina)*x2+2*(sinb)*x+sinc=0 имеет два различных вещественных корня.  (П -число пи)

я начал так:

если это арифметическая прогрессия, то a=b-d, c=b+d и получаем:

(sinи(b-d))*x2+2*(sinb)*x+sin(b+d)=0

Подскажите, что делать дальше?

Оффлайн samar

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: задача
« Ответ #1 : 14 Ноября 2009, 17:42:45 »
Если вкратце, то доказать, что дискриминант строго больше 0

Оффлайн samar

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 41
    • Просмотр профиля
Re: задача
« Ответ #2 : 14 Ноября 2009, 18:09:22 »
Подробнее будет так:

D=(2*sin(b))2-4*sin(b-d)*sin(b+d)=4*sin(b)2-4*sin(b-d)*sin(b+d)

Воспользуемся формулами сложения и вычитания аргументов синуса:

4*sin(b)2-4*(sin(b)*cos(d)-cos(b)*sin(d))*(sin(b)*cos(d)+cos(b)*sin(d))={расскроем скобки и приведем подобные}=
=4*sin(b)2-4*sin(b)2*cos(d)2+4*cos(b)2*sin(d)2=4*sin(b)2*(1-cos(d)2)+4*cos(b)2*sin(d)2

d<pi/2, т.к. если d=pi/2, то c=pi/2+pi/2*a=pi+a>=pi, что противоречит условию

Оценим по частям полученное выражение

4*cos(b)2*sin(d)2>=0 - это очевидно

Рассмотрим эту часть 4*sin(b)2*(1-cos(d)2) , т.к. 0<b<pi, то sin(b)2>0, а cos(d)2<1, т.к. d>0 (d<pi/2) по определению арифметической прогрессии
Получаем, что 4*sin(b)2>0 и (1-cos(d)2)>0, значит и весь дискриминант больше 0, что и требовалось доказать


Оффлайн vladen

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 20
    • Просмотр профиля
Re: задача
« Ответ #3 : 14 Ноября 2009, 20:28:44 »


Подскажите, что делать дальше?
[/quote]

Оффлайн vladen

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 20
    • Просмотр профиля
Re: задача
« Ответ #4 : 14 Ноября 2009, 20:30:05 »
это ошибка, всё понятно)