Исследовать систему уравнений на совместимость, решить ее по формулам Крамера.

[david mills]

помогите с такой системой.
3x1 - 2x2 - 3x3 +3x4 = -4
x1  + 2x2 - 2x3 - 2x4 = 4
x1  - x2  -  2x3 + x4 = -2
2x1 + x2 + 4x3  + x4  = 2

Задача: исследовать систему уравнений на совместимость.
Запишем ранг расширенной матрицы:

3 -2 -3 3 / -4
1 2 -2 -2 / 4
1 -1 -2 1 / -2
2 1 -4 -1 / 2
Отнимаем от рядка два рядок №3 (r2-r3) и от рядка 4 рядок №3 умноженый на 2 (r4-2r3). Получаем матрицу:
3 -2 -3 3 / -4
0 3 0 -3 / 6
1 -1 -2 1 / -2
0 3 0 -3 / 6
Рядки 2 и 4 одинаковы, только что делать я не знаю. Подскажите дальнейшие действия, все что нужно уже перерешал, осталась только эта система.
 

[tig81]

Задача: исследовать систему уравнений на совместимость.
Запишем ранг расширенной матрицы:

Тут либо найдем ранг расширенной матрицы (кроме того, надо и матрицы системы) или запишем расширенную матрицу системы

Рядки 2 и 4 одинаковы, только что делать я не знаю.

По-русски "рядок", это строка. А так, одну из равных строк убирают из рассмотрения

НО, если СЛАУ надо решить методом Крамера, то теорему Кронекера-Капелли можно не использовать. Т.к. теорема Крамера дает ответ на этот вопрос: "Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и..."

[david mills]

Задача: исследовать систему уравнений на совместимость.
Запишем ранг расширенной матрицы:

Тут либо найдем ранг расширенной матрицы (кроме того, надо и матрицы системы) или запишем расширенную матрицу системы

Рядки 2 и 4 одинаковы, только что делать я не знаю.

По-русски "рядок", это строка. А так, одну из равных строк убирают из рассмотрения

НО, если СЛАУ надо решить методом Крамера, то теорему Кронекера-Капелли можно не использовать. Т.к. теорема Крамера дает ответ на этот вопрос: "Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и..."

А если написано просто решить? Можно и методом крамера и жордена-гаусса.
"Исследовать матрицу на совместимость, если она совместима - решить ее".

[tig81]

А если написано просто решить? Можно и методом крамера и жордена-гаусса.
"Исследовать матрицу на совместимость, если она совместима - решить ее".

ну только не матрицу исследовать, а систему.
А так да, если метод конкретно не указан, то на ваш выбор... Тогда лучше метод Гаусса для такой системы.

[david mills]

А если написано просто решить? Можно и методом крамера и жордена-гаусса.
"Исследовать матрицу на совместимость, если она совместима - решить ее".

ну только не матрицу исследовать, а систему.
А так да, если метод конкретно не указан, то на ваш выбор... Тогда лучше метод Гаусса для такой системы.

Прорешано уже методом крамера. Визначник (на русском вроде просто "дельта") = 0; все дополнительные дельты также равны 0. Это значит что система совместима, но не определена (хз как на русском). Сойдет запись такого решения? Без теоремы Кронекера-Капелли?

[tig81]

Прорешано уже методом крамера. Визначник (на русском вроде просто "дельта") = 0;

по-русски определитель, просто обозначается греческой буквой дельта

= 0;

Методом Крамера решать нельзя

Это значит что система совместима, но не определена (хз как на русском).

правильно перевели, неопределена. Только почему?

Без теоремы Кронекера-Капелли?

Нет, если определитель равен нулю, то система может быть и несовместной, т.е. не иметь решений. Решайте методом Гаусса, при приведении к ступенчатому виду вы и теорему Кронекера-Капелли проверите и сделаете пол решения методом Гаусса, так сказать убьете сразу двух зайцев

[david mills]

Прорешано уже методом крамера. Визначник (на русском вроде просто "дельта") = 0;

по-русски определитель, просто обозначается греческой буквой дельта

= 0;

Методом Крамера решать нельзя

Это значит что система совместима, но не определена (хз как на русском).

правильно перевели, неопределена. Только почему?

Без теоремы Кронекера-Капелли?

Нет, если определитель равен нулю, то система может быть и несовместной, т.е. не иметь решений. Решайте методом Гаусса, при приведении к ступенчатому виду вы и теорему Кронекера-Капелли проверите и сделаете пол решения методом Гаусса, так сказать убьете сразу двух зайцев

Совместима, но неопределена потому что дельта = 0, все дополнительные дельты так же равны нулю. Я посчитал методом крамера.
В общем вот что я нарешал методом Гаусса:

Найдем ранг расширенной матрицы.

3 -2 -3 3 / -4
1 2 -2 -2 / 4
1 -1 -2 1 / -2
2 1 -4 -1 / 2
Отнимаем от строки два строку №3 (r2-r3) и от строки 4 строку №3 умноженую на 2 (r4-2r3). Получаем матрицу:
3 -2 -3 3 / -4
0 3 0 -3 / 6
1 -1 -2 1 / -2
0 3 0 -3 / 6
Вторая и четвертая строчки одинаковы. Вычеркиваем строку 2. Получаем матрицу:
3 -2 -3 3 / -4
1 -1 -2 1 / -2
0 3 0 -3 / 6
Поменяем вторую и первую строчки местами чтобы сверху была единица.
1 -1 -2 1 / -2
3 -2 -3 3 / -4
0 3 0 -3 / 6
От строки №2 отнимаем строку номер 1 умноженную на 3 (r2-3r3). Получаем:
1 -1 -2 1 / -2
0  1  3  0 /  2
0  3  0 -3 /  6
Дальше просто не знаю что делать. Написал ранг равен 3 - система совместима и записал решение методом крамера (то, о чем я писал выше). Подскажите, пожалуйста.

[tig81]

Совместима, но неопределена потому что дельта = 0, все дополнительные дельты так же равны нулю. Я посчитал методом крамера.

Не знаю, с чего вы сделали такой вывод, но если главный определитель (определитель матрицы системы) равен нулю, то теорема Крамера не работает. А что вы там и как считали, я не знаю.

В общем вот что я нарешал методом Гаусса:
1 -1 -2 1 / -2
0  1  3  0 /  2
0  3  0 -3 /  6
Дальше просто не знаю что делать.

Еще ведь матрица не приведена к ступенчатому виду, элемеент а32=3 надо обнулить. Для этого от третьей строки отнимайте три вторых

Написал ранг равен 3

Еще рано делать вывод про ранг матрицы

система совместима

доведите матрицу к ступенчатому виду

и записал решение методом крамера

еще раз: методом Крамера данную систему вы решить не можете, т.к. не выполнены условия теоремы Крамера

[david mills]

Вот что вышло:
От третей строки вычитаем вторую умноженную на 3 (r3-3r2). Получаем:
1 -1 -2 1 / -2
0  1  3  0 /  2
0  0 -9 -3 / 0
Что дальше подскажите.

[tig81]

Вот что вышло:
От третей строки вычитаем вторую умноженную на 3 (r3-3r2). Получаем:
1 -1 -2 1 / -2
0  1  3  0 /  2
0  0 -9 -3 / 0
Что дальше подскажите.

Все, матрица имеет ступенчатый вид. Чему равен ранг матрицы? Чему равен ранг расширенной матрицы?
Какая система соответствует полученной матрице?
Про обратный ход метода Гаусса слышали?

П.С. Последнюю строку можно поделить на (-3)

[david mills]

Вот что вышло:
От третей строки вычитаем вторую умноженную на 3 (r3-3r2). Получаем:
1 -1 -2 1 / -2
0  1  3  0 /  2
0  0 -9 -3 / 0
Что дальше подскажите.

Все, матрица имеет ступенчатый вид. Чему равен ранг матрицы? Чему равен ранг расширенной матрицы?
Какая система соответствует полученной матрице?
Про обратный ход метода Гаусса слышали?

П.С. Последнюю строку можно поделить на (-3)

В таком случае выйдет:
3x3 + x4 = 0
Только что нам это даст? х4 или х3 мы не найдем.

По поводу ранга, по идее он равен 3. Ранг и расшеренной и основной матрицы.

[tig81]

В таком случае выйдет:
3x3 + x4 = 0

в таком каком? Только одно уравнение осталось?

Только что нам это даст? х4 или х3 мы не найдем.

Найти не найдем, но одну переменную выразить через другую можем

По поводу ранга, по идее он равен 3. Ранг и расшеренной и основной матрицы.

с этого надо и начинать, что ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, значит по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Так как ранг меньше количества неизвестных, то система неопределенна, т.е. имеет бесконечно много решений. Значит одни переменные будут выражаться через другие. Ранг r=3, количество неизвестных n=4, значит количество свободных переменных  (через которые будем выражать остальные) равно n-r=4-3=1.