Задача по планиметрии (олимпиадная). Помогите с доказательством (есть рисунок)

[Efimov-v]

В треугольнике АВС ВМ - медиана. MD и ME - биссектрисы углов BMA и BMC соответственно. Отрезки ВМ и DЕ пересекаются в точке F. Найти MF, если DE = 7 единиц.
Рисунок во вложении.
Ясно, что MF = 0.5*DE (медиана прямого угла прямоугольного треугольника), только как это доказать? Без дополнительных построений ничего не получилось: если бы удалось доказать, что DE || AC, то все сошлось бы, но у меня не получилось. Удвоение медианы BM не помогло.
Сделанное построение (на первом рисунке), на первый взгляд, всё решает, но нет! Нет гарантии, что точка N лежит на BM. Пробовал доказать от противного (второй рисунок) - не получилось (смежные углы в сумме все равно равны 180, накрест лежащие равны, и угол АВС остается самим собой). Помогите доказать, что N лежит на BM или подкиньте идею для другого решения задачи.
Благодарю!