Ряд Фурье

[allod26]

Задача: Воспользовавшись разложением функции в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму данного числового ряда.
f(x)=|x|; (-\( \pi ; \pi  \)); \(  \sum \frac{1}{{(2n-1)}^{2}} \)

посчитал коэффициенты Фурье

a₀= \( \pi \)
a_n= \( \frac{2}{\pi } \frac{{(-1)}^{n}-1}{{n}^{2}} \)
b_n= 0

и получается вот такое разложение:
\( \frac{\pi }{2}\sum \frac{2}{\pi } \frac{{(-1)}^{n}-1}{{n}^{2}} \cos(nx) \)

и как мне используя это разложение найти сумму ряда по \(  \sum \frac{1}{{(2n-1)}^{2}} \) ?

[Dimka1]

и получается вот такое разложение:
\( \frac{\pi }{2}\sum \frac{2}{\pi } \frac{{(-1)}^{n}-1}{{n}^{2}} \cos(nx) \)

исправьте ошибку.

Для нахождения суммы нужно подставить в разложение x=Pi и cos(Pi*x), заменить на (-1)ⁿ, множитель 2/Pi вынести за знак суммы

Что в этом случае получается?

[Dimka1]

Я имел в виду cos (Pi*n), а не cos (Pi*x)

______
Asix, а почему через некоторое время (2 часа прошло) не работает кнопка "Изменить"?

[allod26]

и получается вот такое разложение:
\( \frac{\pi }{2}\sum \frac{2}{\pi } \frac{{(-1)}^{n}-1}{{n}^{2}} \cos(nx) \)

исправьте ошибку.

Для нахождения суммы нужно подставить в разложение x=Pi и cos(Pi*x), заменить на (-1)ⁿ, множитель 2/Pi вынести за знак суммы

Что в этом случае получается?

\( \sum \frac{(-1)^{2n} - (-1)^{n+1}}{n^{2}} \) ?

[Dimka1]

Почему в числителе -(-1)ⁿ⁺¹?


Еще раз внимательно запишите, что получается при подстановке x=Pi в разложение
\( \left| x \right| = \frac{\pi }{2} + \frac{2}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1}}{{{n^2}}}} \cos \left( {nx} \right) \)

[allod26]

Почему в числителе -(-1)ⁿ⁺¹?

cos(Pi*x) заменили на (-1)ⁿ и домножили на весь числитель
(-1)¹*(-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺¹

[Dimka1]

если Вы сделали так, то допустили ошибку в знаках числителя

[allod26]

вот так?

\( \frac{\Pi ^{2}+4}{2\Pi }\sum \frac{(-1)^{2n}+(-1)^{n+1}}{n^{2}} = {\Pi} \)

[Dimka1]

вот так?

\( \frac{\Pi ^{2}+4}{2\Pi }\sum \frac{(-1)^{2n}+(-1)^{n+1}}{n^{2}} \)

Да.Только допишите = Рi

Теперь выпишите значения числителя (под знаком суммы) при  n=1,2,3,4,5. Увидели закономерность?

[allod26]

вот так?

\( \frac{\Pi ^{2}+4}{2\Pi }\sum \frac{(-1)^{2n}+(-1)^{n+1}}{n^{2}} \)

Да.Только допишите = Рi

Теперь выпишите значения числителя (под знаком суммы) при  n=1,2,3,4,5. Увидели закономерность?

при четных n получается 0, а при нечетных 2

[Dimka1]

вот так?

\( \frac{\Pi ^{2}+4}{2\Pi }\sum \frac{(-1)^{2n}+(-1)^{n+1}}{n^{2}} \)

Да.Только допишите = Рi

Теперь выпишите значения числителя (под знаком суммы) при  n=1,2,3,4,5. Увидели закономерность?

при четных n получается 0, а при нечетных 2

Да.
Поэтому в числителе ставим 2, а в знаменателе убираем четные гармоники, заменив n  на 2n-1
Что в результате получилось?

[allod26]

Да.Только допишите = Рi

а почему равно Pi?

Да.
Поэтому в числителе ставим 2, а в знаменателе убираем четные гармоники, заменив n  на 2n-1
Что в результате получилось?

\( \frac{\Pi ^{2}+4}{2\Pi }\sum \frac{2}{(2n-1)^{2}} = {\Pi} \)

[Dimka1]

Да.Только допишите = Рi

а почему равно Pi?

Да.
Поэтому в числителе ставим 2, а в знаменателе убираем четные гармоники, заменив n  на 2n-1
Что в результате получилось?

\( \frac{\Pi ^{2}+4}{2\Pi }\sum \frac{2}{(2n-1)^{2}} = {\Pi} \)

Вы на 2Pi почленно то поделите и получите вот такое выражение

\( \pi  = \frac{\pi }{2} + \frac{2}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{2}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}}  \)
Вынесите теперь 2 из под знака суммы и найдите значение скомой суммы
\( \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}}  \)

Что получилось?

[allod26]

получается \( \frac{\pi ^{2}}{8} \)

но я так и не понял, почему наше разложение \( \frac{\pi }{2} + \frac{4}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}}  \) приравнивается к \( {\pi} \) ?

[Dimka1]

Ну у Вас в задании |x| определена от -Pi до Pi.
\( \left| x \right| = \frac{\pi }{2} + \frac{2}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n} - 1}}{{{n^2}}}} \cos \left( {nx} \right) \)

 Вот взяли и приравняли к Pi из этого интервала.
Можно приравнять к 0, тогда преобразования будут другими...