Частное решение неоднородного ДУ

[ks111]

Дано ДУ y"+y=3x-sin2x не получается найти ЧРНУ
общее решение получилось: y=C1*e^(0*x) + C2*e^-x
Частное решение ДУ:
правая часть равна 3х-sin2x.
У меня вопрос теперь надо подставить правую часть в виде частного решения в левую.
вот это надо подставлять: (Ax+B)-(Asin2x+Bcos2x) или нет?
 

[tig81]

Дано ДУ y"+y=3x-sin2x не получается найти ЧРНУ
общее решение получилось: y=C1*e^(0*x) + C2*e^-x

нет

Частное решение ДУ:
правая часть равна 3х-sin2x.

ну да

У меня вопрос теперь надо подставить правую часть в виде частного решения в левую.
вот это надо подставлять: (Ax+B)-(Asin2x+Bcos2x) или нет?

нет, вам надо рассмотреть два частных решения, которые соответствуют 3x и sin2x отдельно.
 

[ks111]

Общ.ур: y''+y=0
Характеристическое у-ние:
 λ^2+1=0
 λ^2=-1
 λ1=i (мнимая единица)
λ2=-i
Общ.решение: C1*cosx+C2*sinx

А так и надо писать что есть 2 частных решения?

Частное решение:
y1=3x ( не знаю как решать,просто подставлять в исх.уравнение?)

y2=-sin2x
 y2=A*cosx+B*sinx
подставляем в исх.уравнение
(A*cosx+B*sinx)'-(A*cosx+B*sinx)= -sin2x
-sin2x=-A*sinx+ B*cosx-A*cosx-B*sinx
А дальше немного не понимаю как решать

[tig81]

Общ.ур: y''+y=0
Характеристическое у-ние:
 λ^2+1=0
 λ^2=-1
 λ1=i (мнимая единица)
λ2=-i
Общ.решение: C1*cosx+C2*sinx

вот так теперь лучше

А так и надо писать что есть 2 частных решения?

да

Частное решение:
y1=3x ( не знаю как решать,просто подставлять в исх.уравнение?)

это у вас не частное решение, это у вас правая часть
в правой части у вас стоит многочлен первой степени. Как выглядит такой многочлен в общем виде?

y2=-sin2x

аналогично

[ks111]

это у вас не частное решение, это у вас правая часть
в правой части у вас стоит многочлен первой степени. Как выглядит такой многочлен в общем виде?

y1=3x
y1=Ax так?

-sin2x=-A*sinx+ B*cosx-A*cosx-B*sinx
 здесь надо выразить через А и В?
тогда получается
-sin2x=-1+1-1-1 ?
-sin2x=-2

[tig81]

это у вас не частное решение, это у вас правая часть
в правой части у вас стоит многочлен первой степени. Как выглядит такой многочлен в общем виде?

y1=3x
y1=Ax так?

Ах+В

-sin2x=-A*sinx+ B*cosx-A*cosx-B*sinx
 здесь надо выразить через А и В?

здесь частное Аsin2x+Вcos2x

[ks111]

Ах+В

получается
(Ax+B)''+(Ax+B)=3x
 первое выражение надо два раза продифференцировать?
 Ax+B=3x
A=3
B=0
-sin2x=(Аsin2x+Вcos2x)''+(Аsin2x+Вcos2x)
-sin2x=(2Acos2x-2Bsin2x)+(Аsin2x+Вcos2x)
-sin2x=-4Asin2x-4Bcos2x+Аsin2x+Вcos2x)
-sin2x=-3Asin2x-3Bcos2x
sin2x=3Asin2x+3Bcos2x

для sin:
 1=3A
A=1/3
B=0
для cos:
A и B = 0

[tig81]

получается
(Ax+B)''+(Ax+B)=3x
 первое выражение надо два раза продифференцировать?
 Ax+B=3x
A=3
B=0

получается, что да

-sin2x=(Аsin2x+Вcos2x)''+(Аsin2x+Вcos2x)
-sin2x=(2Acos2x-2Bsin2x)+(Аsin2x+Вcos2x)
-sin2x=-4Asin2x-4Bcos2x+Аsin2x+Вcos2x)
-sin2x=-3Asin2x-3Bcos2x
sin2x=3Asin2x+3Bcos2x

суть правильная

для sin:
 1=3A
A=1/3
B=0

а откуда вывод про В? Возле синуса В нигде не вижу

для cos:
A и B = 0

аналогично, не понятно, откуда взялось А=0

[ks111]

а откуда вывод про В? Возле синуса В нигде не вижу

значит B для синуса не существует
для косинуса не существует А
правильно?

[tig81]

а откуда вывод про В? Возле синуса В нигде не вижу

значит B для синуса не существует
для косинуса не существует А
правильно?

нет, не существует, просто вы их там не рассматриваете. Два выражения равны, если равны коэффициенты при синусе, и при косинусе

[ks111]

а дальше составлять общее решение уравнения? и надо вместе считать y1 и y2?

[tig81]

да, общее равно сумме однородного решения и двух частных

[ks111]

огромное спасибо!!!!!!! 

[tig81]

будьте здоровы!