Задачи 2 курса

[Hellko]

1. Дифференцируема ли в точке 0 функция \( f(x)=\begin{cases}
 & ln(1+2x\arctan x)-x,\,  x\neq 0 \\
 & 0, \,  x=0
\end{cases} \)

Если я правильно помню, то функция является дифференцируемой в этой точке, если там нет разрыва. Т.о надо посчитать предел при стремлении к нулю от первого выражения, и если он совпадает со вторым выражением, то функция дифференцируема.

[tig81]

Надо посмотреть определение дифференцируемой функции.

[DeadChild]

Если я правильно помню, то функция является дифференцируемой в этой точке, если там нет разрыва. Т.о надо посчитать предел при стремлении к нулю от первого выражения, и если он совпадает со вторым выражением, то функция дифференцируема.

Функция \( f: \, M\subset R \to R \) одной переменной является дифференцируемой в точке \( x_{0} \) своей области определения \( M \), если существует такая константа \( a \), что для любой точки \( x\in M \) верно
\( f(x)=f(x_{0}+a(x-x_{0})+0(x-x_{0}) \), \( x\to x_{0} \),
при этом число \( a \) неизбежно равно производной \( a=f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \)

Этот предел надо посчитать? \( \lim_{x\to 0} (ln(1+2xarctgx)-x) \)

[Dimka1]

Если я правильно помню, то функция является дифференцируемой в этой точке, если там нет разрыва. Т.о надо посчитать предел при стремлении к нулю от первого выражения, и если он совпадает со вторым выражением, то функция дифференцируема.

Функция \( f: \, M\subset R \to R \) одной переменной является дифференцируемой в точке \( x_{0} \) своей области определения \( M \), если существует такая константа \( a \), что для любой точки \( x\in M \) верно
\( f(x)=f(x_{0}+a(x-x_{0})+0(x-x_{0}) \), \( x\to x_{0} \),
при этом число \( a \) неизбежно равно производной \( a=f'(x_{0})=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \)

Этот предел надо посчитать? \( \lim_{x\to 0} (ln(1+2xarctgx)-x) \)

 У Вас f(0)=0, 0'=0 сл-но какой вывод?

[DeadChild]

У Вас f(0)=0, 0'=0 сл-но какой вывод?

Дифференцируема?

[DeadChild]

Задание 8. Решить уравнение
\( (x+2y)dx+(2x-y)dy=0 \)
\( (x+2y)dx=-(2x-y)dy \)
\( z=\frac{y}{x} \to y=xz \)    \( dy=d(x;z)=zdx+xdz \)
\( (x+2xz)dx+(2x-xz)(zdx+xdz)=0 \)
\( xdx+2xzdx+2xzdx+2x^2dz-xz^2dx-x^2zdz=0 \)
\( xdx+4xzdx+2x^2dz-xz^2dx-x^2zdz=0 \)
\( (x+4xz-xz^2)dx+(2x^2-x^2z)dz=0 \)
\( x(1+4z-z^2)dx=-x^2(2-z)dz \)
\( \int \frac{dx}{x}=-\int \frac{(2-z)dz}{1+4z-z^2} \)
Остается только найти два интеграла.

[Dimka1]

Задание 8. Решить уравнение
\( (x+2y)dx+(2x-y)dy=0 \)
\( (x+2y)dx=-(2x-y)dy \)
\( z=\frac{y}{x} \to y=xz \)    \( dy=d(x;z)=zdx+xdz \)
\( (x+2xz)dx+(2x-xz)(zdx+xdz)=0 \)
\( xdx+2xzdx+2xzdx+2x^2dz-xz^2dx-x^2zdz=0 \)
\( xdx+4xzdx+2x^2dz-xz^2dx-x^2zdz=0 \)
\( (x+4xz-xz^2)dx+(2x^2-x^2z)dz=0 \)
\( x(1+4z-z^2)dx=-x^2(2-z)dz \)
\( \int \frac{dx}{x}=-\int \frac{(2-z)dz}{1+4z-z^2} \)
Остается только найти два интеграла.

Чет намудрили

\( y' = \frac{{x + 2y}}{{y - 2x}} \)
\( \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{x}{y}\frac{{1 + 2\frac{y}{x}}}{{1 - 2\frac{x}{y}}} \)
\( \frac{y}{x} = k,y = kx,\,\,y' = k'x + k \)
\( k'x + k = \frac{1}{k}\frac{{1 + 2k}}{{1 - 2\frac{1}{k}}} \)

и упрощайте дальше

[DeadChild]

Чет намудрили

\( y' = \frac{{x + 2y}}{{y - 2x}} \)
\( \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{x}{y}\frac{{1 + 2\frac{y}{x}}}{{1 - 2\frac{x}{y}}} \)
\( \frac{y}{x} = k,y = kx,\,\,y' = k'x + k \)
\( k'x + k = \frac{1}{k}\frac{{1 + 2k}}{{1 - 2\frac{1}{k}}} \)

и упрощайте дальше

Не понимаю что с этим дальше делать.

[Dimka1]

Чет намудрили

\( y' = \frac{{x + 2y}}{{y - 2x}} \)
\( \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{x}{y}\frac{{1 + 2\frac{y}{x}}}{{1 - 2\frac{x}{y}}} \)
\( \frac{y}{x} = k,y = kx,\,\,y' = k'x + k \)
\( k'x + k = \frac{1}{k}\frac{{1 + 2k}}{{1 - 2\frac{1}{k}}} \)

и упрощайте дальше

Не понимаю что с этим дальше делать.

Преобразовать и привести к уравнению с разделяющимися переменными

f(k)dk=f(x)dx