Помогите решить дифференциальное уравнение

[Lebedeva_Anna]

\( x^2dy=(xy+4x^2+y^2)dx \)
\( y'x^2=xy+4x^2+y^2 \)
как я понимаю, это уравнение Бернулли
\( m\neq 0 и m\neq 1 \), тогда
т.к m=2, то
\( z={y}^{1-2}=\frac{1}{y} \)
\( z'=\left(\frac{1}{y} \right)'=-\frac{1}{y^2}y' \)
а дальше преобразовать и решить уравнение не получается

[tig81]

нет, это не Бернулли, это однородное ДУ

[Lebedeva_Anna]

как так....... и как решать тогда его?

[tig81]

Вот ТАК

[Lebedeva_Anna]

хех, прикольно))
вот так вот можно сделать?
разделим все на x^2 и сделаем замену t=y/x
\( dy=(\frac{y}{x}+4+\left(\frac{y}{x} \right)^2)dx \)
\( \frac{dy}{dx}=(\frac{y}{x}+4+\left(\frac{y}{x} \right)^2) \)
\( y'=t+4+t^2 \)
\( \frac{dy}{dt}=(t+4+t^2) \)
\( dy=\frac{t+4+t^2}{dt} \)

[tig81]

а y' чего никак не преобразовали?

[Lebedeva_Anna]

ой..а как y' преобразовать? А сам ход решения верный? И потом отдельно интегрируем левую и правую часть, и подставляем y/x?

[tig81]

ой..а как y' преобразовать? А сам ход решения верный? И потом отдельно интегрируем левую и правую часть, и подставляем y/x?

да, но после подстановки уравнение получится другое, y' не будет. Еще раз посмотрите внимательно примеры

[Lebedeva_Anna]

так вот?
\( dt=t+4+t^2 \)

[tig81]

t=y/x

у тогда чему равен?

\( \frac{dy}{dx}=(\frac{y}{x}+4+\left(\frac{y}{x} \right)^2) \)

отсюда пересматриваем. По какому примеру идете? киньте ссылочку

[Lebedeva_Anna]

Добрый день!
Вот так вот?
y=xt=>y'=xt'
\( x\cdot \frac{dt}{dx}=t+4+t^2 \)
\( \int \frac{dt}{t+4+t^2}=\int \frac{dx}{x} \)
\( ln|t+4+t^2|=ln|x| \)

[Dimka1]

y/x=t, y=tx, y=t'x+t

[Lebedeva_Anna]

спасибо большое. Ответ "не красивый" выходит:
y=t'x+t
\( t'x+t=t+4+t^2 \)
\( t'x=4+t^2 \)
\( \frac{dtx}{dx}=2^2+t^2 \)
\( \int \frac{dt}{2^2+t^2}=\int \frac{dx}{x} \)
\( \frac{1}{2}arctg\frac{t}{2}=ln|x| \)
t=y/x
\( \frac{1}{2}arctg\frac{2x}{y}=ln|x| \)

[Dimka1]

Да.
Красивые редко в таких уравнениях получаются

[Lebedeva_Anna]

Ура! Спасибо вам большое! И в конце +С писать нужно(в задании просят найти общее решение ДУ)?