Помогите вычислить несобств.интегралы или доказать их сходимость

[Lebedeva_Anna]

Добрый день! Помогите пожалуйста решить, у меня есть сомнения по моему варианту решения. Нужно вычислить несобств.интегралы или доказать их сходимость
\( \int_{0}^{\inf } \frac{{\arctan }^{5} \frac{x}{7}}{{x}^{2}+49}dx \)

я думаю,что вычислять нужно так: сначала выполним преобразование:
\( \frac{dx}{{x}^{2}+49}=\frac{1}{49}\cdot \frac{dx}{{(\frac{x}{7}})^{2}+1}=\frac{7}{49}\cdot \frac{d(\frac{x}{7})}{(\frac{x}{7}^2)+1}=\frac{1}{7}d(\arctan \frac{x}{7}) \)

т.к интеграл первого рода,то:
\( \frac{1}{7}\int_{0}^{\inf }\frac{{\arctan }^{5}(\frac{x}{7})}{d(\arctan \frac{x}{7})}=-\frac{1}{7}\lim_{b\rightarrow \inf }({\arctan }^{4}(\frac{x}{7})\mid^b_o)=-\frac{1}{7}\lim_{b\rightarrow inf}({\arctan }^{4}\frac{b}{7}-{\arctan }^{4}0)=-\frac{1}{7}(\frac{{\pi }^{4}}{{2}^{4}}-\frac{{\pi }^{4}}{{4}^{4}})=-\frac{15{\pi }^{4}}{156}\cdot \frac{1}{7}=0,98 \)
следоват-но интеграл сходится

[tig81]

Не понятно, как проинтегрировали? Почему дифференциал оказался в знаменателе?
\( \int{x^ndx}=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \)

[Lebedeva_Anna]

Вот так?
\( \frac{1}{7}\int_{0}^{\inf }d(\arctan \frac{x}{7})\cdot {\arctan }^{5}\frac{x}{7}=-\frac{1}{7}\lim_{b\rightarrow inf}({\arctan }^{6}\frac{x}{7})\mid ^b_0=\lim_{b\rightarrow inf}-\frac{1}{7}({\arctan }^{6}\frac{b}{7}-{\arctan }^{6}0)=-\frac{1}{7}(\frac{\pi }{2})^6-(\frac{\pi }{4})^6=14.95 \)

[tig81]

после нахождения интеграла еще должен множитель 1/6 появится

[Lebedeva_Anna]

ага...как я понимаю, он появляется из за того,что арктангенс в 6 степени? а сам арктангенс при этом степень не поменяет?
и еще: \( {\arctan }^{6}\frac{b}{7} \) и \( {\arctan }^{6}0 \) взяты правильно?
\( \frac{1}{7}\int_{0}^{\inf }d(\arctan \frac{x}{7})\cdot {\arctan }^{5}\frac{x}{7}=-\frac{1}{42}\lim_{b\rightarrow inf}({\arctan }^{6}\frac{x}{7})\mid ^b_0=\lim_{b\rightarrow inf}-\frac{1}{42}({\arctan }^{6}\frac{b}{7}-{\arctan }^{6}0)=-\frac{1}{42}(\frac{\pi }{2})^6-(\frac{\pi }{4})^6 \)

[tig81]

арктангенс нуля найден неверно

[Lebedeva_Anna]

ой...нулю равен???а все остальное верно?

[Lebedeva_Anna]

И вот второй интеграл \( \int_{7}^{0}\frac{dx}{({7-x})^{\frac{1}{9}}} \). Задание аналогичное. Мои мысли :
Интеграл 2-го рода, след-но:
\( \int_{7}^{0}\frac{dx}{({7-x})^{\frac{1}{9}}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\int_{0}^{7-\varepsilon }{(7-x)}^{-\frac{1}{9}}dx=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}(\frac{9}{8}{(7-x})^{\frac{8}{9}})\mid_{0}^{7-\varepsilon }=\frac{9}{8} lim_{\varepsilon \rightarrow0 }({7-7+\varepsilon })^{\frac{8}{9}}-({7-0})^{\frac{8}{9})}=\frac{9}{8}\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}}({\varepsilon }^{\frac{8}{9}}-{7}^{\frac{8}{9}})=\frac{9}{8}\cdot \left({-7}^{\frac{8}{9}} \right)=\frac{9}{8}\cdot \left(-7 \right)\cdot {-7}^{-\frac{1}{9}} \)
у меня не получается вычислить результат(поэтому понять не могу сходится интеграл или расходится)

[tig81]

ой...нулю равен???а все остальное верно?

кажется да

[tig81]

И вот второй интеграл

1. вначале 7 было нижним пределом, затем стало верхним?
2. Как интеграл находили?
3. В результате получается число какое-то или бесконечность?

[Lebedeva_Anna]

ой..извиняюсь...это я ошиблась..изначально 7-верний предел,0-нижний
интеграл находила по формуе,которую вы выше мне писали:
\( \int {x}^{n}dx=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}+C \)
рез-т вычислить не получается...конкретно:-7 в степени (-1/9)