Найти неопределенный интеграл.

[als]

Проверьте пожалуйста. Этот последний вроде.
\( \int \frac{dx}{2\sin x+\cos x+2}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{\sin x}+\int \frac{dx}{\cos x}+\frac{1}{2}\int dx=\frac{1}{2}\ln |\tan \frac{x}{2}|+\ln |\tan \frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}|+\frac{1}{2}x+C  \)

[tig81]

так почленно не делится, неправильно сразу же после первого знака равенства

[als]

Надо предварительно что то со знаменателем сделать?

[tig81]

универсальная тригонометрическая подстановка

[als]

через \( \tan \frac{x}{2} \)

[als]

Метод замены переменной:
\( t=\tan \frac{x}{2} \)

\( \sin x=\frac{2t}{1+{t}^{2}} \)

\( \cos x=\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}} \)

\( dx=\frac{2dt}{1+{t}^{2}} \)

[tig81]

да

[als]

\( \int \frac{2dx}{2\sin x+\cos x+2}=\int \frac{2dt}{(1+{t}^{2})*[2\frac{2t}{1+{t}^{2}}+\frac{1-{t}^{2}}{1+{t}^{2}}+2]}}}=2\int \frac{dt}{{t}^{2}+4t+3}=2\int \frac{dt}{{(t+2)}^{2}-1}= \)
Не могу упростить что то. Надо домножить чилитель и знаменатель, а я не могу сообразить на что.

[tig81]

в принципе это табличный интеграл

но можно сделать замену \( t+2=\frac{1}{\sin{x}} \)

[als]

Вместо t+2 подставить 1/sinx? А мое выражение упростить нельзя? Потом подставить  вместо t - tgx/2
Табличный интеграл?

[tig81]

Вместо t+2 подставить 1/sinx?

да

А мое выражение упростить нельзя? Потом подставить  вместо t - tgx/2

а что даст универсальна тригонометрическая подстановка? Возможно и можно, но...

Табличный интеграл?

да, ссылка 7-й интеграл сверху

[als]

Вместо t+2 подставить 1/sinx?

У меня интеграл по dt?

[tig81]

ну так найдите dt. Вы же интегралы методом замены уже ведь находили?!
Ну а так не мучайтесь, интеграл табличный

[als]

А 10 и 11 таличные интегралы.

[tig81]

А 10 и 11 таличные интегралы.

а почему не табличные. Если не сказано иного, то можно брать готовые формулы