Найти интервал сходимости степенного ряда

[ADS333]

\( \sum_{\propto }^{n=1}\frac{{(x-1)}^{n}}{{2}^{n}\cdot (n+3)} \)
Используя признак Даламбера нашёл область определения -1<x<3
Как дальше исследовать сходимость на концах интервала? Вроде советуют применить теорему Лейбница, не совсем понятно как? Подскажите пожалуйста.

[Dimka1]

\( \sum_{\propto }^{n=1}\frac{{(x-1)}^{n}}{{2}^{n}\cdot (n+3)} \)
Используя признак Даламбера нашёл область определения -1<x<3
Как дальше исследовать сходимость на концах интервала? Вроде советуют применить теорему Лейбница, не совсем понятно как? Подскажите пожалуйста.

неправильно интервал нашли

[ADS333]

ввел новую переменую u=x-1
\( \lim_{{n\rightarrow \propto}}\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\lim_{{n\rightarrow \propto}}\frac{{u}^{n}\cdot u\cdot {2}^{n}\cdot (n+3)}{{2}^{n}\cdot 2\cdot (n+4)\cdot {u}^{n}}=\lim_{{n\rightarrow \propto}}\frac{u\cdot (n+3)}{2\cdot (n+4)}=\lim_{{n\rightarrow \propto}}u\cdot \frac{(n+3)}{(2n+8)}=u\cdot \lim_{{n\rightarrow \propto}}\frac{(n+3)}{(2n+8)}=\frac{u}{2}
 \)
Отсюда
u<2
-2<|x-1|<2         -1<x<3

[Dimka1]

я - около единицы почему-то просмотрел минус

Интервал верный

Теперь осталось исследовать ряды
SUM (-1)ⁿ/((n+3))
SUM 1/((n+3))

[ADS333]

то есть если a_n+1<a_n и lim a _n=0 ряд сходится ,а как проверить условие a_n+1<a_n?

[Dimka1]

не понял.

подставьте границы интервала в свой ряд и исследуйте его на сходимость. Если он сходится, значит точку границы включают в интервал.

[ADS333]

оба условия по Лейбницу выполняются. значит ряд сходится на концах интервала. Так? Область сходимости (-1;3)?

[tig81]

условия Лейбница для первого ряда выполняются? Или для какого?

[ADS333]

условия Лейбница для первого ряда выполняются? Или для какого?

для х=-1, а для второго нужно применить признак Даламбера? или тоже по Лейбницу считать?

[tig81]

для х=-1, а для второго нужно применить признак Даламбера? или тоже по Лейбницу считать?

Даламбер ничего не даст, признак Лейбница применяется только для знакопеременных рядов. Пробуйте либо интегральный, либо признак сравнения.

[ADS333]

если применить признак сравнения мне нужно сравнивать эти ряды
\( \sum_{n=1}^{\propto }\frac{{(-1)}^{n}}{(n+3)} \) и \( \sum_{n=1}^{\propto }\frac{1}{(n+3)} \)

[tig81]

если применить признак сравнения мне нужно сравнивать эти ряды
\( \sum_{n=1}^{\propto }\frac{{(-1)}^{n}}{(n+3)} \) и \( \sum_{n=1}^{\propto }\frac{1}{(n+3)} \)

нет, \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+3)} \) с каким-то другим, про характер сходимости которого точно известно

[ADS333]

мне такой ответ препод не примет, именно он мне сказал почему то решать по признаку Лейбница

[tig81]

Пусть тогда он расскажет, как применить признак Лейбница, который работает для знакопеременных рядов, к ряду с положительными членами.

Возможно он сказал нечто другое, вы его неправильно поняли, например, что признак Лейбница надо применить для первого ряда...

[ADS333]

а если использовать интегральный какие границы интегалла брать?