Найти производные 4-х функций

[als]

1. \( y=(\tan \sqrt{x})*{\sin}^{2}x \)-производная произведения сложных функций.
2. \( y=\frac{\tan 3x}{{\cos}^{3} x} \)-производная часного сложных функций.
3. \( y={(\sin x)}^{{e}^{x}} \)-непонятно как решать.
4. \( {y}^{2}x=3\ln y \)-тоже непонятно

[tig81]

1. \( y=(\tan \sqrt{x})*{\sin}^{2}x \)-производная произведения сложных функций.

да

2. \( y=\frac{\tan 3x}{{\cos}^{3} x} \)-производная часного сложных функций.

да

3. \( y={(\sin x)}^{{e}^{x}} \)-непонятно как решать.

1. По формуле
либо
2. логарифмическое дифференцирование
либо
3. записать как экспонента в степени логарифм от заданной функции

4. \( {y}^{2}x=3\ln y \)-тоже непонятно

почитайте про дифференцирование функции заданной неявно

П.С. Лучше бы было, если бы выкладывали примеры не пачками, а по отдельности

[als]

Хорошо, пусть здесь будет 1 пример. Сейчас буду решать его и выложу, что получится.

[Белый кролик]

Стелю соломку.
Учтите, что \( {sin}^{2}x \) - это сложное выражение в степени.

[tig81]

Стелю соломку.
Учтите, что \( {sin}^{2}x \) - это сложное выражение в степени.

1. \( y=(\tan \sqrt{x})*{\sin}^{2}x \)-производная произведения сложных функций.

[Белый кролик]

Ну не знаю как выразится.
Думаю, меня поняли.

[tig81]

насколько я поняла, ТС, это понял, значит выразился нормально

[als]

\( y=((\tan \sqrt{x})*{\sin}^{2}x)'=(\tan \sqrt{x})'*{\sin}^{2}x+\tan \sqrt{x}*({\sin }^{2}x)'=(\tan x)'*\sqrt{x}*(\sqrt{x})'*{\sin}^{2} x+\tan \sqrt{x}*2\sin x*(\sin x)'=\frac{1}{{\cos }^{2}x}*\sqrt{x}*\frac{1}{2\sqrt{x}}*{\sin }^{2}x+\tan \sqrt{x}*2\sin x*\cos x \)
Как то так получилось.

[tig81]

после второго знака равенства непонятно, что и откуда взяли.

[als]

Вычислял постепенно сложную функцию по формуле, что написана внизу.
Посмотрел как решаются сложные примеры вот здесь:http://www.mathprofi.ru/proizvodnaya_slozhnoi_funkcii.html
На примере 12.

[Белый кролик]

Есть же таблица производных сложных функций. Найдите ее обязательно.
\( (tg(u))'= \frac{(u)'}{{cos}^{2}u} \)

Кстати, поздравляю, \( tg\sqrt{x}({sin}^{2}x)' \) вы нашли верно.

Ой, у нас на сайте есть! ссылка

[als]

Мне стыдно спрашивать, но что такое \( {\sin }^{2}x \)
Чесно сказать производную \( {\sin }^{2}x \) я нашел в интернете, т.к. не понял, что это за угол. Остальное сейчас переделаю.

\( y=(\tan \sqrt{x})*{\sin}^{2}x=(\tan \sqrt{x})'*{\sin}^{2}x+\tan \sqrt{x}*({\sin }^{2}x)'=\frac{2\sqrt{x}}{{\cos}^{2}\sqrt{x} }*{\sin }^{2}x+\tan \sqrt{x}*2\sin x*\cos x \)

[Белый кролик]

sin x - это не угол. Это отношение. Просто арабы так назвали обычное деление противолежащего(лежит против угла) катета на гипотенузу (из прямоугольного треугольника). "Синус" в переводе "пазуха" или "карман". Так что синус - это просто деление определенных сторон друг на друга.
Также косинус угла - отношение прилежащего(образует сторону угла) катета к гипотенузе.
Эти все забавные штучки(синус, косинус, тангенс, котангенс и т.д.)  вывели из прямоугольного треугольника.
Потом пришли к понятию тригонометрических функций, на это конечно понабодилось много часов размышлений и арабского кофе.
А раз есть функция и она непрерывна, то можно найти ее производную.

При нахождении \( ({sin}^{2}x)' \) я советовал воспользоваться просизводной сложной функции в степени:
\( ({u}^{n})'=n{u}^{n-1}(u)' \).

Как пользоваться:
1) сначала нужно вынести ту степень, что нам дана вперед  Наш синус во второй степени.
\( ({sin}^{2}x)'=2... \)

2) Потом нужно переписать данную функцию и понизить у нее степень на один(отнят один)
\( ({sin}^{2}x)'=2{sin}^{2-1}x... \)
Так как 2-1 = 1, то можно переписать так
\( ({sin}^{2}x)'=2{sin}^{2-1}x...=2sinx \)
3) Далее нужно умножить на производную самой функции,к-я находится под степенью, т.е (sin x)'
(sin x)' = cos x.


Итого: \( ({sin}^{2}x)'=2sinxcosx \)

[Белый кролик]

Все хорошо, только есть ошибочка.
\( \frac{\sqrt{x}}{{cos}^{2}\sqrt{x}} \)
В числителе должна быть производная корня.

[als]

Огромное спасибо за исчерпывающий ответ, сейчас буду знать как с этим бороться. А пример то правильно?