Найти статические моменты

[SPAR]

Найти статические моменты относительно координатных осей дуги С однородной астроиды:  \( {x}^{2/3}+{y}^{2/3}={a}^{2/3} (x\geq 0,y\geq 0) \)

Если были похожие, киньте ссылку.
вот что сам на решал....
Но не уверен

[Dimka1]

Найти статические моменты относительно координатных осей дуги С однородной астроиды:  \( {x}^{2/3}+{y}^{2/3}={a}^{2/3} (x\geq 0,y\geq 0) \)

Если были похожие, киньте ссылку.

Задачник Рябушко, Часть 3, Раздел "Криволинейные интегралы"
Там есть примеры решений

[tig81]

и это номер 4244.1 из Демидовича, там есть ответ

А так фото ужасное, ничего не видно

[SPAR]

В Демидовиче нашел данную задачку, ответ \( 3/5*a^2 \)
В Рябушко не нашел не одной решенной задачи на эту тему.
Может кто расписать данное задание? или по этапно говорить как решать

[tig81]

По какой формуле находятся статические моменты?

[tig81]

В Рябушко не нашел не одной решенной задачи на эту тему.

Зато там есть, как находить криволинейные интегралы

[SPAR]

Статический момент \( {J}_{xoy}=\int_{J}^{}zf(x,y,z)dl \) где z - это плечо а f(x,y,z) - dM
Но что и куда подставлять подскажите плз

[tig81]

у вас функция двух переменных

В указанном номере из Демидовича есть необходимые формулы

[SPAR]

\( \int_{0}^{\pi /2}{({a}^{2/3}-{y}^{2/3})}^{3/2}dS \)
это относительно оси OX
Так?

[tig81]

для решения уравнение астроиды лучше параметризировать

[SPAR]

Параметризировать то есть \( x=acos^3t \) \( y=asin^3t \)
\( \int_{0}^{\pi /2}{acos^3tdt} \) это Момент на оси OX
Так?

[tig81]

Параметризировать то есть \( x=acos^3t \) \( y=asin^3t \)

да

\( \int_{0}^{\pi /2}{acos^3tdt} \) это Момент на оси OX
Так?

а как вы перешли от криволинейного интеграла первого рода к определенному? Я так понимаю, вы просто в криволинейный интеграл (формулу) подставили величины и перешли к определенному?

[SPAR]

Да, а как надо?

[tig81]

почитайте, как связан криволинейный интеграл первого рода с определенным (ссылку на одну из книг вам уже давали, ссылка на другие есть у меня в подписи), там появляется еще один множитель

[SPAR]

\( dS=\sqrt{((x(t)')^2+(y(t)')^2}dt \)
\( {S}_{y}=\int_{0}^{\Pi /2}acos^3t\sqrt{((x(t)')^2+(y(t)')^2}dt \)
\( {S}_{x}=\int_{0}^{\Pi /2}asin^3t\sqrt{((x(t)')^2+(y(t)')^2}dt \)
Теперь все вроде так