Вычислить работу векторного поля силы : F

[SPAR]

Итак...Искал на форуме похожую тему - не нашел.
Если не трудно посоветуйте задачник с похожей задачей...
Заранее спасибо
  Вычислить работу векторного поля силы \( F(M)=(x+y\sqrt[]{x^2+y^2})i+(y-x\sqrt[]{x^2+y^2})j \) при движении материальной точки по заданному пути \( L: x^2+y^2=1   y\geq 0 \)  от точки M(1,0) до точки N(-1,0).

Кому не трудно подскажите как решать...
Заранее спасибо.../

[Dimka1]

\( A = \int\limits_{{L_{MN}}} {(x + y\sqrt {{x^2} + {y^2}} )dx + } (y - x\sqrt {{x^2} + {y^2}} )dy \)

\( L = \left\{ \begin{array}{l}x = \cos t\\y = \sin t\end{array} \right. \)

[SPAR]

Значит дальше переходить к цилиндрической сис-ме и приделы будут от 0 до pi? И подставлять новые x и y?

[Dimka1]

Значит дальше переходить к цилиндрической сис-ме и приделы будут от 0 до pi? И подставлять новые x и y?

подставить координаты точек в нижнее уравнение и найти t
Найденные значения t и x и y (выражены параметрически) подставить в криволинейный интеграл 2 рода

[SPAR]

Можешь подробнее объяснить.
Не очень понял.

[Dimka1]

Можешь подробнее объяснить.
Не очень понял.

Подставь координаты точки M(1,0) в систему L и найди t. Это будет один предел интегрирования.
Подставь координаты точки N(-1,0) в систему L и найди t. Это будет другой предел интегрирования.
Что получилось?

Ответ есть к этой задаче?

[SPAR]

Значит, получается \( \int_{0}^{pi}x+y*\sqrt{x^2+y^2} dx+\int_{0}^{pi}y-x*\sqrt{x^2+y^2} dy \)
У меня чет вольфрам не хочет его брать...
Если уже посчитал и получил ответ выложи пожалуйста...Буду очень благодарен.
Ответа точно нету, будет как препод посмотрит.

[Dimka1]

Значит, получается \( \int_{0}^{pi}x+y*\sqrt{x^2+y^2} dx+\int_{0}^{pi}y-x*\sqrt{x^2+y^2} dy \)
У меня чет вольфрам не хочет его брать...
Если уже посчитал и получил ответ выложи пожалуйста...Буду очень благодарен.
Ответа точно нету, будет как препод посмотрит.

 в место x, y, dx, dy тоже нужно подставить данные из системы L

[SPAR]

Итак...
\( L\begin{cases}
 & \text{ x=cost }   \\
 & \text{ y=sint } 
\end{cases} \)\(

\begin{cases}
 & \text{ x=cost }   \\
 & \text{ dx=sintdt }   
\end{cases}
\begin{cases}
 & \text{ y=sint }   \\
 & \text{ dy=-costdt }   
\end{cases} \)
\( \int_{0}^{pi}(cost+sint)sintdt+\int_{0}^{pi}-(sint-cost)costdt \)


Правильно?

[Dimka1]

знаки проверьте x=cost, dx=-sintdt

[SPAR]

Блин, точно.
С интегрированием перепутал. Спасибо
\( \int_{0}^{pi}-(cost+sint)sintdt+\int_{0}^{pi}(sint-cost)costdt \)

[Dimka1]

только на 2 интеграла не надо разбивать, запишите все в одну строчку (там некоторые слагаемые взаимно сократятся и все упроститься)

[SPAR]

Получилось -Pi
Правильно?

[Dimka1]

вроде так.
Только работа не бывает отрицательной. Скорее всего точка движется от N(-1,0) к M(1,0) и нужно поменять пределы интегрирования от Pi до 0. Тогда все будет ok.

[SPAR]

Огромное спасибо за данную задачу ^