найти площадь трапеции

[Андрей 1997]

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниям AD и BC; угол A и C составляют в сумме 90 градусов, найти площадь трапеции, если основание AD=2; DC=18
Решение:
Обозначим стороны трапеции AB-x, BD-y,BC-z; Углы BCD-c, DAB-a, ABD-b, BDC-d.
Из условия угол c+угол a=90 гр
Из прямоугольного Δ DBC: угол c+угол d=90 гр =>
угол a=угол d; угол c =угол d, таким образом  Δ ADB подобный Δ DBC, отсюда следует соотношения 2/y=x/18=y/z.
Тогда 2z=y^2 => z=y^2/2
С другой стороны z=18y/x => получаем систему уравнений 1) 9=x*y, 2)из Δ ADB 2^2+y^2=x^2
Во втором уравнении выражаем x через  y получаем уравнеие y^4 + 4*y^2=81, можно сделать замену переменных y^2=n,
  n^2+4*n-81=0, n _1,2=(-4±√ (16+4*81))/2, находим n ₁≈-11; n ₂≈7. Берём  n ₂≈7, тогда y^2=7 => y≈2,6, а x≈3,5. Из Δ DBC по Пифагору y^2+z^2=18^2 находим z≈18,2. Находим среднюю линию (18,2+2)/2=10,1 следовательно S=y*10,1=3,5*10,1=35,35 см^2 Подскажите правильно я решил или нет? СПАСИБО.

[Dimka1]

рисунок нарисуйте

[Андрей 1997]

Я сдалал ошибку в первом решении, вместо 9=x*y надо 36=x*y
Решение:
Обозначим стороны трапеции AB-x, BD-y,BC-z; Углы BCD-c, DAB-a, ABD-b, BDC-d.
Из условия угол c+угол a=90 гр
Из прямоугольного Δ DBC: угол c+угол d=90 гр =>
угол a=угол d; угол c =угол d, таким образом  Δ ADB подобный Δ DBC, отсюда следует соотношения 2/y=x/18=y/z.
С другой стороны z=18y/x => получаем систему уравнений 1) 36=x*y, 2)из Δ ADB 2^2+y^2=x^2
Во втором уравнении выражаем x через  y получаем уравнеие y^4 + 4*y^2=36^2, можно сделать замену переменных y^2=n,
  n^2+4*n-36^2=0,  n1,2=(-4±√ (16+4*36^2))/2, находим n₁≈-38; n₂≈34. Берём положительное  n₂≈34, тогда y^2=34 => y≈5,8, это есть высота трапеции. Из Δ DBC по Пифагору y^2+z^2=18^2 находим z≈17. Находим среднюю линию (17+2)/2=9,5 следовательно S=y*9,5=5,8*9,5=55,1 см^2    Правильно или нет? СПАСИБО!

[Андрей 1997]

рисунок нарисуйте

Я не умею их рисовать. но попробую что-то придумать. Но он очень простой. Простите пожалуста.

[Semen_K]

Плохо , что без чертежа, но это не главное...
Если честно, то я не вникал в Ваше решение... Уж очень много и грамоздко для такой простенькой задачи...
Обратите внимание, что треугольники ABD и BDC - подобны...
Можете обозначить высоту через Х, тогда ВС = sqrt(18^2-x^2)...
Составляете пропорцию подобия и довольно просто находите Х, т.е. высоту, а , затем и второе осногвание...

Можно еще проще, если определим, что tgA=X/2; cosA=X/18; sinA = tgA*cosA=x^2/36;
тогда (x^2/18^2)+(x^4/36^2)=1, откуда:
не сложно найти Х... 

[Андрей 1997]

Плохо , что без чертежа, но это не главное...
Если честно, то я не вникал в Ваше решение... Уж очень много и грамоздко для такой простенькой задачи...
Обратите внимание, что треугольники ABD и BDC - подобны...
Можете обозначить высоту через Х, тогда ВС = sqrt(18^2-x^2)...
Составляете пропорцию подобия и довольно просто находите Х, т.е. высоту, а , затем и второе основание.. 

Спасибо.Я как раз и решал способом который описан Вами выше. Только высоту я обозначил y.