Помогите решить системы уравнений с логарифмами

[SanSan]

Вообще не понимаю как делать. знаю одно, что надо из верхнего выразить √(log_2y)
И подставить вниз...

[renuar911]

У этой системы 2 комплексных решения и 1 действительное. Последнее легко видеть сразу: x=3; y=2

[SanSan]

Мне бы решения, мне нужно это в тетрадь переписать , а я незнаю как решить))

[Dimka1]

Мне бы решения, мне нужно это в тетрадь переписать , а я незнаю как решить))

из 1го выразить log₂y и подставить во второе

[SanSan]

у меня получилось log_2⁡y= log_3⁡x-4√(log_3⁡x) +4

[renuar911]

Алгебраически я тоже запутался. Решил в Maple графически:



Обратите внимание - я уравнения представил через натуральные логарифмы.
Может, это поможет?

Для себя пишу листинг команд:

with(plots); implicitplot({x^(ln(y)/ln(2))+y^(-ln(x)/ln(2)) = 10/3, sqrt(ln(x)/ln(3))+sqrt(ln(y)/ln(2)) = 2}, x = 1 .. 4, y = 1.5 .. 2.5, thickness = 2);

[Dimka1]

У этой системы 2 комплексных решения и 1 действительное. Последнее легко видеть сразу: x=3; y=2

Корешок ещё один пропустили

x=3 ^(sqrt(2)+1)2
y=2 ^(1-sqrt(2))2

[renuar911]

Нет, батенька. Действительное решение только одно. Еще есть два мнимых, но формулы длинные и вряд ли нужны.
Рисунок подтверждает, что имеем только одну точку пересечения двух уравнений:



restart; with(plots); g1 := implicitplot({x^(ln(y)/ln(2))+y^(-ln(x)/ln(2)) = 10/3}, x = -3 .. 5, y = -2 .. 2.5, numpoints = 120000, thickness = 2); g2 := implicitplot({sqrt(ln(x)/ln(3))+sqrt(ln(y)/ln(2)) = 2}, x = -3 .. 5, y = -2 .. 2.5, numpoints = 120000, thickness = 2, color = green); display(g2, g1);

Хотя, почему бы и не дать эти мнимые решения? :

\( x=3^{2+i-2\sqrt{1+i}} \, ; \qquad y=2^{2+i+2\sqrt{1+i}} \)

\( x=3^{2-i-2\sqrt{1-i}} \, ; \qquad y=2^{2-i+2\sqrt{1-i}} \)

[Dimka1]

Нет, батенька.

Ни нет, а да. Вот проверка.

Возможно прога, которая строит Вам графики работает с ошибкой или представляет действительное решение в виде комплексного, которое можно преобразовать в действительное.

[renuar911]

Я не только строил графики, но и решал как систему. Две же ошибки не могут быть.
Но проверю Ваши парочки...

Проверил. Второе уравнение верно дает 10/3, а вот первое дает не 2 , а \( 2\sqrt{2} \)

x := 3^((1+sqrt(2))^2); y := 2^((1-sqrt(2))^2);sqrt(log[3](x))+sqrt(log[2](y));

[Dimka1]

Я не только строил графики, но и решал как систему. Две же ошибки не могут быть.
Но проверю Ваши парочки...

да постройте графики при x=-580..650  (У меня Maple старый и на этом интервале график строить не хочет  )

[renuar911]

Ошибка Ваша в том, сокращаются единички, а не \( \sqrt{2} \)

Потому что \( log_2y=\sqrt{2}-1 \)

График построил. Зеленая линия обрывается на x>20. Никаких новых пересечений. Они только мнимые.

[Dimka1]

Ошибка Ваша в том, сокращаются единички, а не \( \sqrt{2} \)

Потому что \( log_2y=\sqrt{2}-1 \)

не понял. Смотрю на свое решение , перед 1 везде плюсики...., а корни явно уходят.

Где у меня тогда ошибка?

[renuar911]

Maple не может врать:

[Dimka1]

Ошибка Ваша в том, сокращаются единички, а не \( \sqrt{2} \)

Потому что \( log_2y=\sqrt{2}-1 \)

откуда это?

Я написал y= 2^(1-sqrt(2))2

Соответственно если прологарифмировать, то

log₂y=(1-sqrt(2))² log₂2

log₂y=(1-sqrt(2))²

sqrt(log₂y)=(1-sqrt(2))