Помогите решить с виду простой предел

[m010sh]

Помогите решить. Никак не получается правильный результат.
\( \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+2x+1}) \)

[tig81]

Помогите решить. Никак не получается правильный результат.
\( \lim_{x \to \infty}\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+2x+1} \)

1. Под знаком предела разность?
2. Какая неопределенность?
3. Что делали?

[m010sh]

1. Исправил 1й пост, теперь вроде понятно.
2. Неопределенность вида \( \infty-\infty \)
3. Сходу формулами сокращенного умножения не вышло. Попробовал домножить и поделить на сопряженное, а потом применить Лопиталя. В результате от неопределенности не ушел. Может и ошибся. По графику в ответе должно быть -0,5.

[tig81]

Попробовал домножить и поделить на сопряженное, а потом применить Лопиталя. В результате от неопределенности не ушел.

начали верно. Показывайте, как делали.

[m010sh]

\( \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+2x+1}) = \lim_{x \to \infty}\frac {x^2+x-x^2-2x-1}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+2x+1}} = \lim_{x \to \infty}\frac {(-x-1)'}{(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+2x+1})'}= \)

\( =\lim_{x \to \infty}\frac {-1}{\frac {2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} + \frac {2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+1}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{-2\sqrt{x^2+x}\sqrt{x^2+2x+1}}{(2x+1)\sqrt{x^2+2x+1}+(2x+2)\sqrt{x^2+x}}= \)

\( =\lim_{x \to \infty}\frac{-2\sqrt{x^2+x}}{2\sqrt{x^2+x}+2x+1} \)

Здесь я встал.

[Белый кролик]

То есть вы сначала решали обычными методами, а потом решили по правилу Лопиталя?
Чёт не пойму  вашей логики.
Ну в принципе, можно.
Я тут увидел прекрасный трехчлен (x^2+2x+1), который сворачивается в квадрат бинома. Тогда можно посокращать.

[tig81]

\( \lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x}-\sqrt{x^2+2x+1}) = \lim_{x \to \infty}\frac {x^2+x-x^2-2x-1}{\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+2x+1}} = \lim_{x \to \infty}\frac {(-x-1)'}{(\sqrt{x^2+x}+\sqrt{x^2+2x+1})'}= \)

\( =\lim_{x \to \infty}\frac {-1}{\frac {2x+1}{2\sqrt{x^2+x}} + \frac {2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+1}}} = \lim_{x \to \infty}\frac{-2\sqrt{x^2+x}\sqrt{x^2+2x+1}}{(2x+1)\sqrt{x^2+2x+1}+(2x+2)\sqrt{x^2+x}} \)

Здесь я встал.

после Лопиталя какая неопределенность осталась?

[m010sh]

То есть вы сначала решали обычными методами, а потом решили по правилу Лопиталя?
Чёт не пойму  вашей логики.
Ну в принципе, можно.

Есть другой перспективный вариант? Это один из методов, а не моя логика.

Я тут увидел прекрасный трехчлен (x^2+2x+1), который сворачивается в квадрат бинома. Тогда можно посокращать.

Внес изменения. Не помогло.

после Лопиталя какая неопределенность осталась?

Неопределенность вида \( \frac{\infty}{\infty} \)

[tig81]

Неопределенность вида \( \frac{\infty}{\infty} \)

Поподробнее, откуда такая неопределенность?

[m010sh]

При \( x \to \infty \) числитель \( -2\sqrt{x^2+x}\to -\infty \), а знаменатель
\( 2\sqrt{x^2+x}+2x+1 \to \infty \)

[Lucky_Lady]

А скажите, пожалуйста, ответ в конечном итоге будет =2?

[tig81]

При \( x \to \infty \) числитель \( -2\sqrt{x^2+x}\to -\infty \), а знаменатель
\( 2\sqrt{x^2+x}+2x+1 \to \infty \)

в числителе вижу -1? или не туда смотрю?

А скажите, пожалуйста, ответ в конечном итоге будет =2?

судя по тому выражению, которое получилось после применения правила Лопиталя, то -1/2.

[tig81]

При \( x \to \infty \) числитель \( -2\sqrt{x^2+x}\to -\infty \), а знаменатель
\( 2\sqrt{x^2+x}+2x+1 \to \infty \)

наверное, поняла, про какой числитель. Степень многочлена в числителе чему равна? Какова степень многочлена в знаменателе?

[m010sh]

В числителе - 1/2, в знаменателе - 1. Я все равно не знаю как здесь можно сократить на высшую степень.
Я заочник(((

[tig81]

В числителе - 1/2, в знаменателе - 1.

??

Я все равно не знаю как здесь можно сократить на высшую степень.

Ничего не поняла...

Выносите в числителе и знаменателе х^2 из под каждого корня+в знаменателе выносите х из каждой из скобок 2х+1, 2х+2

Почитайте еще вот это: КЛАЦ