Определить частное решение линейного диф-ого уравнения второго порядка

[анели]

Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,удовлетворяющее заданным начальным условиям: y"-y'-2y=0    y(0)=0   y'(0)=0

1)\(  1{\lambda}^{2}-1\lambda-2=0 \)
Д=9   \( \lambda_1=2 \), \( \lambda_2= -1 \)
Получены корни среди которых нет 0.
\( y=C_1{e}^{\lambda_1 x}+C_2{e}^{\lambda_2 x} \)
\( y=C_1{e}^{2 x}+C_2{e}^{-1 x} \)- общее решение
2)\( \tilde{y}=A{x}^{2}+B x-2C+D \)
пока так или бред?

[tig81]

Что ищите под пунктом 2) ?

[tig81]

\( y=C_1{e}^{2 x}+C_2{e}^{-2 x} \)-

Почему у второй экспоненты в степени -2? Когда копировали, не подправили?

[анели]

Спасибо,забыла исправить,а вот под 2,это пока только предположение я пока не понимаю что нужно дальше делать,если бы не было дано начальных условий ,то,как я поняла,нужно подобрать частное решение,вот у меня в материале написанно что частное решение нужно искать в виде \( \tilde{y}=Ax +Bx+Cx+D \)

[tig81]

Спасибо,забыла исправить,а вот под 2,это пока только предположение я пока не понимаю что нужно дальше делать,если бы не было дано начальных условий ,то,как я поняла,нужно подобрать частное решение,вот у меня в материале написанно что частное решение нужно искать в виде \( \tilde{y}=Ax +Bx+Cx+D \)

частное решение в том случае, если уравнение неоднородное, а у вас однородное (в правой части стоит 0)

А начальные условия заданы для того, чтобы найти константы С1 и С2.

[анели]

Я вот смотрю в книжку и не понимаю((( Мне теперь  нужно заменить в общем решении постоянные С_1 и С_2, или нужно сначала продифференцировать эту функцию два раза чтобы получить y'' и потом подставлять

[tig81]

Такс, давайте сначала, какое решение получили, т.е.
 y(х)=...??

[анели]

эээ...короче после того как нашла общее решение, \( y=C_1 {e}^{2 x}+ C_2 {e}^{-1x} \)
беру производную \(  y'= C_1{e}^{2 x}-C_2 {e}^{-1x} \)
Теперь подставляем и получаем систему из двух уравнений
С_1+С_2=0
С_1-С_2=0
С_1 = 0 и С_2 = 0 и получается \( 0 {e}^{2 x}+ 0 {e}^{-1x}= 0 \)

[tig81]

беру производную \(  y'= C_1{e}^{2 x}-C_2 {e}^{-1x} \)

неправильно, перепроверьте первое слагаемое

ну а ход верен

[анели]

забыла двойку,ну получается ничего не меняется,так ведь?
 \( 0 {e}^{2 x}+ 0 {e}^{-1x}= 0 \) и всё,получается y=0,это и есть частное решение?

[tig81]

а, ну да, ну получается, что да, но скорее ошибка в начальных условиях, но из того, что есть, получается именно так.

[анели]

Спасибо))

[tig81]