Найти предел. Первый замечательный

[Белый кролик]

Не сошлось с ответом. И я мучаюсь.
Задание.Найти предел:\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin5x}{4{x}^{2}} \).
Решение.
\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin5x}{4{x}^{2}}= \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x+4x)}{4{x}^{2}}=  \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinxcos4x+sin4xcosx}{4{x}^{2}}=  \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinxcos4x+4sinx{cos}^{2}xcos2x}{4{x}^{2}}=  \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx(cos4x+4{cos}^{2}xcos2x)}{4{x}^{2}}= \)
\( = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\cdot \frac{2{cos}^{2}2x-1+4{cos}^{2}xcos2x}{4x}= \)
\( =1\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos2x(cos2x-1+4{cos}^{2}x)}{4x}= \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos2x(2{cos}^{2}x-1-1+4{cos}^{2}x)}{2x}= \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos2x(2{cos}^{2}x-2)}{2x}= \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cos2x({cos}^{2}x-1)}{2x} = \)
\( = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos2x({cos}^{2}x-{cos}^{2}x-{sin}^{2}x)}{x}= \)
\( =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}\cdot (-cos2x)\cdot sinx= \)
\( =1\cdot (-1)\cdot 0=0 \)


А в ответе бесконечность.
Только не подсказывайте. Вернее подсказывайте, только ооооочень прозрачно. Я хочу сам.

[Lucky_Lady]

А обязательно через "первый замечательный"? Если заменить по эквивалентностям sin5x на 5x, а потом сократить х, получится 5/4*0 = бесконечность.

[Белый кролик]

К сожалению, обязательно. Так хочет автор задачника, а я его слушаюсь.

[Lucky_Lady]

А зачем решать после 6 строчки? Там уже бесконечность получается. И первый замечательный использовали и бесконечность получили. 

[tig81]

\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin5x}{4{x}^{2}} \)

\( \lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}}{4x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{5\sin{5x}}{4x\cdot 5x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{5}{4x}\cdot \frac{\sin{5x}}{5x}\right)=... \)

[renuar911]

Самый надежный (и общий!)  способ - разложить функцию в ряд Тейлора в точке x=0. Первый член ряда, естественно:

\( \frac{5}{4x} \)

Остальные члены имеют иксы в числителе. Отсюда и предел равен бесконечности.

Это я для расширения кругозора.

[Белый кролик]

А зачем решать после 6 строчки? Там уже бесконечность получается. И первый замечательный использовали и бесконечность получили. 

А действительно?  Но нет же... Я упорно хотел избавится от нуля в знаменателе.

\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin5x}{4{x}^{2}} \)

\( \lim_{x\to 0}\frac{\sin{5x}}{4x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{5\sin{5x}}{4x\cdot 5x}=\lim_{x\to 0}\left(\frac{5}{4x}\cdot \frac{\sin{5x}}{5x}\right)=... \)

Да...До такого извращения я бы не додумался.

Самый надежный (и общий!)  способ - разложить функцию в ряд Тейлора в точке x=0.

Вот оказывается зачем нужны ряды... Что ж... Придется познакомится с этим Тейлором.

Всем большое спасибо за участие!
Пошел его дальше помучаю.

[Dimka1]

Только не подсказывайте. Вернее подсказывайте, только ооооочень прозрачно. Я хочу сам.

Только не подсматривай (на картинку не нажимай)  

[tig81]

ИМХО, без лишней скромности, мой способ самый простой, зачем в дебри лезть?

Тем более в условии четко сказано, используя первый замечательный предел

[Dimka1]

ИМХО, без лишней скромности, мой способ самый простой, зачем в дебри лезть?

Тем более в условии четко сказано, используя первый замечательный предел

после вчерашней гуляночки я подумал, что первый это второй, а второй это первый, вот и решил через первый.
Но всё равно пусть будет, может кому понадобиться.

[tig81]

 

[Белый кролик]

Хочу спросить, а
\( \frac{sin5x}{5x}=1 \) ?
И вообще так можно? Я всегда старался выделить\(  \frac{sinx}{x} \).

[Dimka1]

Хочу спросить, а
\( \frac{sin5x}{5x}=1 \) ?
И вообще так можно? Я всегда старался выделить\(  \frac{sinx}{x} \).

обозначь 5x=y

[tig81]

Хочу спросить, а
\( \frac{sin5x}{5x}=1 \) ?

если так, то нет, если слева предел дописать при х стремящемся к 0, то да А так замена, как Dimka ниже написал, либо следствие из первого замечательного

И вообще так можно?

а чего нельзя?

Я всегда старался выделить\(  \frac{sinx}{x} \).

[Белый кролик]

Ууу... я только замену делал в арк-.... Не знал, что так можно. Написано же русским языком, что \( \lim_{a\rightarrow 0} \frac{sinx}{x} =1 \), вот и будь добр именно это и выделить.