уравнение и длина высоты пирамиды

[настена]

Даны координаты точек пирамиды: А(4;2;5) В(3;0;4) С(0;0;3) S(5;-2;-4), необходимо составить уравнение ввсоты,опушенной из S и ее длину. Я делаю так:
1) уравнение высоты: использую условие перпендикулярности прямой и плоскости А/m=В/n=C/p, т.е. координаты вектора N(-2;3;6) так, уравнение высоты получается - (х-5)/2 = (у+2)/3 = -(z+4)/6
2) длина высоты, опущенной из S:
сначала нахожу площадь основания АВС=1/2 * /АВ*АС/, где АВ*АС-векторное произведение векторов АВ и АС, получается площадь АВС = sqrt11 ед²
3) Объем данной пирамиды равен 48, отсюда по формуле V_пир=1/3 * S_АВС * H, нахожу высоту:
48*3=S_АВС*H   H=144/S_АВС  H=144/sqrt11
 В вычислениях ошибки нет, но че-то меня смушает длина высоты
Или я где-то все-таки ошиблась?

[Asix]

На счет уравнения прямой все понятно и логика ясна.
Но вот только не ясно зачем Вы делали столько действий для нахождения длины высоты? Может проще по известной формуле плоскости основания найти расстояние от точки до плоскости, это и будет длиной высоты =))

[настена]

То есть, расстояние от точки до поскости = (Ах₀+Ву₀+Сz₀+D)/sqrt (А²+В²+С²). Если я правильно поняла,то  получается дробь: (-2*5+3*(-2)-6*(-4)+18)/sqrt((-2)²+3²+(-6)²)Тогда у меня получается длина высоты 26/7.
А вот уравнение плоскости,проходящей через ребро SB, перпендикулярной основанию АВС не могу составить(((По теории знаю,что условие перпендикулярности плоскостей: А₁А₂+В₁В₂+С_{/sub]С2=0 Крутила-вертела, получилось,что уравнение такое: -2*х-3*у-6*z+8=0. Но в этом я так сомневаюсь, что даже стыдно!}

[настена]

Ну все, я эту контрольную не сделаю,заклинило меня на этой теме про перпендикулярную плоскость

[Asix]

У тебя есть уравнение нормали плоскости + уравнение направляющей прямой, может найти векторное произведение данных векторов и получить нормаль перпендикулярной плоскости ?? =))
Если конечно я все правильно понял =))

[настена]

Так, уравнение нормали к проскости АВС: вектор N (-2;3;-6), а уравнение направляющей прямой это уравнение прямой, перпендикулярной плоскости АВС? -2/m=3/n=-6/p-это оно?
В общем вот на чем я остановилась:
1) условие перпендикулярности прямой и плоскости: А/m=B/n=C/p, где А, В, С-координаты нормали плоскости АВС, вектор N(-2;3;6). m?n?p- координаты направляющего вектора S
2) Высота проходит через точку S (5;-2;-4), составила ур-ние высоты:
(х-5)/m=(y+2)/n=(z+4)/p
То есть, (х-5)/-2=(у+2)/3=(z+4)/-6
3) Условие перпендикулярности плоскостей: n₁перпендикулярна n₂? если  А₁А₂+В₁В₂+С₁С₂=0
уравнение плоскости,проходящей через ребро SB, перпендикулярной основанию АВС
 Вектор SB (2;-2;-7)

Что дальше-то делать? Подскажите,пожалуйста!

[Asix]

Найди вектор SB и нормаль известной плоскости, их векторное произведение и будет нормалью новой, перпендикулярной плоскости.
Если я конечно уже сам не запутался =))

[настена]

Asix, спасибо огромное! решила, векторное произведение получилось:
i   j   k
2 -2 -6  = 36*i+28*j+2*k
-2 3 -6
Дальше проверяю условие перпендикулярности:
n₁  (-2;3;-6), n₂ (36;28;2): -2/36+3*28+2*(-6)=0
То есть, уравнение плоскости, проходящей через ребро SB будет: 36*х+28*у+2*z+D=0
И откуда это D брать? Или оно будет таким же, как в уравнении плоскости АВС, которой найденная плоскость перпендикулярна, т.е. 18?

[настена]

Может подскажете где посмотреть теорию по этой теме? искала в яндексе,на мейле-не нашла. вдруг на будущее пригодится, так хоть буду знать где брать это D. И еще раз огромное спасибо!

[Asix]

Уравнение плоскости:
Ax + By + Сz + D = 0
A, B, C - известны.
Плоскость проходит через точки B и S
Вот подставьте в уравнение новой плоскости координаты одной из точек и найдете D.
Вроде верно думаю =))

[настена]

Asix, я сама додумалась уже после того,как отправила сообщение, но все равно спасибо, Вы прибавили мне уверенности! Я сделала эту контрольную, ура!!!

[Asix]

Не за что.
Осталось тока сдать =))