Помогите разобраться.

[catlol00000]

Всем добрый вечер.Нужно помощь в решении нескольких задач.
 
  Нужно исследовать функцию на аналитичность.
1)\( f(z)=e^z \) (z комплексное,т.е. будет x-iy)
если бы пример был без экспоненты (типа 4z-5z+6z) проблем бы не возникло.
Но вот с экспонентой я затрудняюсь.
Сейчас напишу что я прикинул:
Теперь берем частные производные(Условия Коши-Римана) по x и по y.Действительная часть получается та что без i,а мнимая с i.
\( dU/dx=e^x \)
\( dV/dy=-1(e^y)^-2 \)
Условия не выполняются,следовательно функция не аналитична.
Если нужно было через cos и sin объясните как

2)\( f(z)=iz^2 \)
\( f(z)==i(x^2+iy^2+2xiy)= \)
Если раскрывать скобки,то фигня какая-то получается,и я потом не смогу взять производные

[tig81]

Всем добрый вечер.Нужно помощь в решении нескольких задач.
  
  Нужно исследовать функцию на аналитичность.
1)\( f(z)=e^z \) (z комплексное,т.е. будет x-iy)
если бы пример был без экспоненты (типа 4z-5z+6z) проблем бы не возникло.
Но вот с экспонентой я затрудняюсь.
Сейчас напишу что я прикинул:
Теперь берем частные производные(Условия Коши-Римана) по x и по y.Действительная часть получается та что без i,а мнимая с i.
\( dU/dx=e^x \)
\( dV/dy=-1(e^y)^-2 \)
Условия не выполняются,следовательно функция не аналитична.
Если нужно было через cos и sin объясните как

Как находили частные производные, не поняла. Чему равна действительная часть функции, мнимая? Применяйте формулу Эйлера, т.е. расписывайте через синус и косинус

2)\( f(z)=iz^2 \)
\( f(z)==i(x^2+iy^2+2xiy)= \)
Если раскрывать скобки,то фигня какая-то получается,и я потом не смогу взять производные

Правильно z в квадрат возведите и показывайте, как скобки раскрываете

[catlol00000]

1)получается числитель действительная часть,а знаменатель мнимая.
2)\( f(z)=i(x+iy)^2=i(x^2+iy^2+2ixy) \) я вот не знаю,правильно iy^2 или просто y^2?
Пока жду,потом продолжу как ответите.Спасибо.

[tig81]

1)получается числитель действительная часть,а знаменатель мнимая.

Еще раз...

я вот не знаю,правильно iy^2 или просто y^2?

Ни так, ни иначе не верно, почему i не возводится в квадрат?

[catlol00000]

1)через экспоненту получается неправильно,я сам понимаю что там(дробь) бред получился,нужно через sin и cos,это пока нужно разобрать.
2)я думал что i не возводится,т.к. это признак мнимой части  :fail:
ну тогда :\( f(z)=i(x^2+(iy)^2+2xiy) \)теперь что ли iy как сумму квадратов расписывать?

[tig81]

1)через экспоненту получается неправильно,я сам понимаю что там(дробь) бред получился,нужно через sin и cos,это пока нужно разобрать.

Смотрите формулу Эйлера

2)я думал что i не возводится,т.к. это признак мнимой части  :fail:

Хм... ничего не поняла, но не правильно думаете

ну тогда :\( f(z)=i(x^2+(iy)^2+2xiy) \)теперь что ли iy как сумму квадратов расписывать?

Какую именно сумму?
Подробнее.

[catlol00000]

2) \( i(x^2+(iy)^2+2xiy)=ix^2+i^3y^2+2xi^2y \) - получается вся часть мнимая?

[tig81]

2) \( i(x^2+(iy)^2+2xiy)=ix^2+i^3y^2+2xi^2y \) - получается вся часть мнимая?

почему? Чему равно \( i^2, i^3 \)?

[catlol00000]

\( ix^2-iy^2-2xy^2 \)

[tig81]

\( ix^2-iy^2-2xy^2 \)

Третье слагаемое: почему у в квадрате?
Чему равна действительная, мнимая части?

[catlol00000]

Ой,\( ix^2-iy^2-2xy \)

\( ix^2-iy^2 \) - мнимая
\( -2xy \) - действительная

Условия выполняются,следовательно функция аналитична.Верно?

[tig81]

\( ix^2-iy^2 \) - мнимая

нет, что лишнее написали?

\( -2xy \) - действительная

да

Условия выполняются,следовательно функция аналитична.Верно?

условия не проверяла

[catlol00000]

Условия я проверил на то что получилось,чего-то лишнего я что-то не замечаю

[tig81]

Условия я проверил на то что получилось,чего-то лишнего я что-то не замечаю

Для числа z=a+bi мнимая часть чему равна?

[catlol00000]

Условия я проверил на то что получилось,чего-то лишнего я что-то не замечаю

Для числа z=a+bi мнимая часть чему равна?

Мнимая bi
Хотя,если быть точным b - мнимая часть.Я просто при взятии частной производной i никогда не учитывал.Но в принципе,брать то придется по ix^2-iy^2