Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение

[анели]

Итак, дано уравнение.

xdy - ydx = (sqrt(x^2 + y^2))dx

Перенесла ydx в правую часть.

xdy = (sqrt(x^2 + y^2))dx + ydx

Записала в виде:

dy/((sqrt(x^2 + y^2) + y) = dx/x

Навесила интегралы.

Получила в результате:

ln|y + sqrt(x^2+y^2)| + ln|y| = ln|x| + ln|c|

Использовала свойство логарифма, и сняла модули и знаки логарифма:

y^2 + y(sqrt(x^2 + y^2)) = Cx

Смущает x в левой части уравнения. Получается, оно до сих пор задано неявно..
Понимаю, что есть ошибка. Скорее всего в интегрировании. Но не понимаю, какая..

З.Ы. С латексом дружила, но потеряла страничку с кодировкой команд %)

[tig81]

dy/((sqrt(x^2 + y^2) + y) = dx/x

Навесила интегралы.

На каком основании вы это сделали? В левой части есть х

З.Ы. С латексом дружила, но потеряла страничку с кодировкой команд %)

Смотрите мою подпись.

[анели]

Точно... тупанула. А как исправить? Не понимаю, как избавиться от корня

[tig81]

почитайте пр однородные ДУ

[анели]

Честно говоря, обчиталась. Просто ткните носом туда, где я не туда свернула, пожалуйста..

[анели]

Дубль-2.

\( xdy - ydx = \sqrt{x^2+y^2}dx \)

Делим на dx почленно.

\( xy^\prime - y = \sqrt{x^2+y^2} \)

Выражаем \( y^\prime \).

\( y^\prime = \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x} \)

Делаем замену: \( y = tx \)

\( \rightarrow dy = t^\prime x + t \)

\( t^\prime x + t = \frac{tx + \sqrt{x^2+(tx)^2}}{x} \)

Упрощаем.

\( 2tx + \sqrt{x^2+(tx)^2} - t^\prime x^2 = 0 \)

\( t^\prime \) заменяем на \( \frac{dt}{dx} \)

Переписываем в виде:

\( \frac{dt}{2tx + \sqrt{x^2+(tx)^2}} = \frac{dx}{x^2} \)

Навешиваем интегралы.

\( \int \frac{dt}{2tx} + \int \frac{dt}{\sqrt{x^2+(tx)^2}} = \int \frac{dx}{x^2} \)

[анели]

Странно, Латекс решил поглючить на моем слабом месте..

Переписываем в виде:

\frac{dt}{2tx + \sqrt{x^2+(tx)^2} = \frac{dx}{x^2}

Навешиваем интегралы.

\int \frac{dt}{2tx} + \int \frac{dt}{\sqrt{x^2+(tx)^2} = \int \frac{dx}{x^2}

[tig81]

Странно, Латекс решил поглючить на моем слабом месте..

Переписываем в виде:

\frac{dt}{2tx + \sqrt{x^2+(tx)^2} = \frac{dx}{x^2}

Навешиваем интегралы.

\int \frac{dt}{2tx} + \int \frac{dt}{\sqrt{x^2+(tx)^2} = \int \frac{dx}{x^2}

Не хватало }

[tig81]

Дубль-2.

\( xdy - ydx = \sqrt{x^2+y^2}dx \)

Делим на dx почленно.

\( xy^\prime - y = \sqrt{x^2+y^2} \)

Выражаем \( y^\prime \).

\( y^\prime = \frac{y + \sqrt{x^2+y^2}}{x} \)

Делаем замену: \( y = tx \)

\( \rightarrow dy = t^\prime x + t \)

\( t^\prime x + t = \frac{tx + \sqrt{x^2+(tx)^2}}{x} \)

Упрощаем.

\( 2tx + \sqrt{x^2+(tx)^2} - t^\prime x^2 = 0 \)

А как? Подробнее.
Почленно поделите в правой части, взаимно уничтожайте

\( \int \frac{dt}{2tx} + \int \frac{dt}{\sqrt{x^2+(tx)^2}} = \int \frac{dx}{x^2} \)

НА каком основании вы навешиваете интегралы? ВЫ переменные разделили? Посмотрите примеры решения подобных уравнений.

[анели]

Исправляюсь:)

После замены \( dy = t^\prime x + t \) получили:

\( t^\prime x + t = \frac{tx + \sqrt{x^2 + (tx)^2}}{x} \)

Упрощение:

\( \frac{tx + \sqrt{x^2 + (tx)^2}}{x} - t^\prime x - t = 0 \)

\( \frac{tx + \sqrt{x^2 + (tx)^2} - t^\prime x^2 - tx}{x} = 0 \)

\( \sqrt{x^2 + (tx)^2} - t^\prime x^2 = 0 \)

\( t^\prime \) - то же самое, что \( \frac{dt}{dx} \)

Соответственно:

\( -x^2\frac{dt}{dx} = - \sqrt{x^2 + (tx)^2} \)

\( x^2\frac{dt}{dx} = \sqrt{x^2 + (tx)^2} \)

\( \frac{dt}{\sqrt{x^2 + (tx)^2}} = \frac{dx}{x^2} \)

Как-то так. До этого момента верно?

[tig81]

Исправляюсь:)

После замены \( dy = t^\prime x + t \) получили:

\( t^\prime x + t = \frac{tx + \sqrt{x^2 + (tx)^2}}{x} \)

Разбираться в вашем лень.
Мне кажется, тот способ, что я предложу проще. Поэтому
1. Для правой части используем тот факт, что \( \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \)
2. В правой части выносите x^2 из подкорня

[tig81]

\( \frac{dt}{\sqrt{x^2 + (tx)^2}} = \frac{dx}{x^2} \)
Как-то так. До этого момента верно?

хотя кажется верно

Теперь слева из под корня выносите х^2

[анели]

 \( \frac{dt}{x\sqrt{1+{t}^{2}}}= \frac{dx}{{x}^{2}} \)
домножаем на \( x \)
\( \frac{dt x}{x\sqrt{1+{t}^{2}}}=\frac{d{x}^{2}}{{x}^{2}} \)
сокращаем \( x \),получаем \( \frac{dt }{\sqrt{1+{t}^{2}}}=\frac{d{x}^{2}}{{x}^{2}} \)
навешиваем интегралы:
\( \int \)\( \frac{dt }{\sqrt{1+{t}^{2}}} \)\( = \)\( \int \)\( \frac{d{x}^{2}}{{x}^{2}} \)
получаем \( ln|x+\sqrt{1+{t}^{2}}|+C \)=\( ln|{x}^{2}|+C \)
\( ln|x+\sqrt{1+{t}^{2}}|+C \) \( - \) \( ln|{x}^{2}|+C \)\(  = 0 \)
по свойству логарифмов,получим:
\( \ln \)\( |\frac{x+\sqrt{1+{t}^{2}}}{{x}^{2}}| \)\( + \)\( C=0 \)
А дальше нужно вернуться к старой переменной. Если  у\( =tx \),то \( t=\frac{y}{x} \)
До этого момента так? Мне не нравится то что все выражение  \( =0 \),проверьте пожалуйста.

[tig81]

\( \frac{dt}{x\sqrt{1+{t}^{2}}}= \frac{dx}{{x}^{2}} \)
домножаем на \( x \)
\( \frac{dt x}{x\sqrt{1+{t}^{2}}}=\frac{d{x}^{2}}{{x}^{2}} \)

Бред. Как их dx после домножения на х получилось dx^2?

[анели]

эээ... \( \frac{dt}{\sqrt{1+{t}^{2}}}=\frac{dx}{x} \);
\( ln|t+\sqrt{1+{t}^{2}}|+C=ln|x|+C \),получается так?