Найти интервал сходимости ряда. И исследовать на концах интервала.

[LIS77]

ряд \( a_n=\frac{ln(n+2)}{n}  \)
\( R=lim|\frac{a_n}{a_n_+_1}|  \), n -> бесконечности
\( R=lim|\frac{(n+1)*ln(n+2)}{n*ln(n+3)}| \)
как решить такой предел? тут ∞/∞
можно ли решить проще правила Лопиталя, примененного несколько раз?

[tig81]

предел отношения многочленов = 1, а к отношению логарифмов правило Лопиталя.

[LIS77]

ладно. получается что интервал сходимости (-1;1)
\( a_n*x^n \). поэтому при х=1 получаем тот же самый ряд \( a_n \)
как найти его сходимость? ведь производная lim(x+2)=1/(x+2), а не 1/х, что подошло бы для решения. правило Даламбера копирует нахождение радиуса сходимости, только меняет местами числитель и знаменатель, и все-равно равен 1.
короче говоря, я в замешательстве. подскажите, как быть дальше.

[tig81]

Ну да 1, признак Даламбера не работает. Оценивайте и интегральный признак Коши.

[LIS77]

я интегрирую по частям и прихожу к такому же примеру. как быть дальше? что я не так делаю?

[tig81]

показывайте решение.

[LIS77]

вот

[tig81]

Так а вы члены заданного ряда не оценивали?

Оценивайте и интегральный признак Коши.

[LIS77]

тогда я не понимаю. как оценить интегральный признак Коши?
чтоб это сделать нужно найти интеграл от функции ln(x+2)/x, но я не могу найти интеграл.
честно говоря не понимаю вас.оценить члены заданного ряда? т.е. при n=1,2,3,...?
ну при х=1: \( a_1=ln(3), a_2=ln(4)/2, a_3=ln(5)/3 \)  и т.д. не поминаю, что это мне дает. то, что ряд не достаточно быстро убывает? и поэтому является расходящимся?

[tig81]

Да не интегральный признак Коши оценивать, а чслены заданного ряда членами другого ряда (т.н. применить признак сравнения для рядов), а затем уже полученный ряд исследовать на сходимость при помощи интегрального признака Коши.

[LIS77]

ясно.
тогда ряд ln(x+2)/(x+2) по интегральному признаку расходится, т.к. интеграл равен ln^2(x+2)/2, и он бесконечен.
при сравнении моего ряда с этим - получается 1? значит оба ряда расходятся.
вроде так?

[tig81]

да

[LIS77]

тогда при х=-1 получится знакопеременный ряд. причем ряд, составленный из его абсолютных величин-расходится, значит знакопеременный может быть как расходящимся, так и условно сходящимся.
по признаку Лейбница:
1) предел ряда стремится к нулю. это так. (1-ый признак верен)
2) члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, начинаю с какого-то n. это тоже так, ибо ln(x+3)/(x+1)>ln(x+4)/(x+2) (2-ой признак верен)
значит мой знакочередующийся ряд условно сходится в точке х=-1.
верно ли я рассуждаю?

[tig81]

тогда при х=-1 получится знакопеременный ряд.

возможно, условия нигде не было полного выше

[LIS77]

было, но повторюсь.
дан ряд \( a_n*x^n \) где \( a_n=\frac{ ln(x+2)}{ x } \), я нашел интервал сходимости (-1;1) и исследовал при х=1 (расходится)
последний мой пост был насчет исследования в точке х=-1