Тригонометрическое уравнение

[Белый кролик]

Не получается решить кубическое. (Кардано не предлагать, не умею).
Решить уравнение:
\(  \frac{8{(sinx+cosx)}^{2}}{cos2x}+\frac{25(ctgx+6tg4x)}{1+6tgxtg4x}+7=0 \).
Решение.
\( \frac{8{(sinx+cosx)}^{2}}{cos2x}=\frac{8+8sin2x}{cos2x}=\frac{8}{cos2x}+ 8tg2x=\frac{8(1+{tg}^{2}x)}{1-{tg}^{2}x}+\frac{16tgx}{1-{tg}^{2}x} \)
\( \frac{25(ctgx+6tg4x)}{1+6tgxtg4x}=\frac{25(\frac{1}{tgx}+6tg4x)}{1+6tgxtg4x}= \frac{25}{tgx} \)
После приведения к общему знаменателю:
Числитель:
\( {tg}^{3}x -25{tg}^{2}x+31tgx+25=0 \)
Знаменатель:
\( tgx(1-{tg}^{2}x) \)
Пусть \( tgx=t \), тогда
\( {t}^{3}-25{t}^{2}+31t+25=0 \)
Вот это и не получается.

[tig81]

\( \frac{8{(sinx+cosx)}^{2}}{cos2x}=\frac{8+8sin2x}{cos2x}=\frac{8}{cos2x}+tg2x= \)

у тангенса 8 потеряна

[Белый кролик]

Ой, извините. :(Это я невнимательно переписал. Дальше эта 8 фигуриирует.
\( 8\cdot tg2x = \frac{8\cdot 2tgx}{1-{tg}^{2}x}=\frac{16tgx}{1-{tg}^{2}x} \)

[tig81]

После приведения к общему знаменателю:

Это подробнее, т.к. у меня получилось иное уравнение, может тоже ошиблась, но корни у него красивые.

[Dimka1]

[tig81]

еще проще.
Только вроде 3 корня получается?!

П.С. Только не забудьте про ОДЗ.

[Белый кролик]

  Я думал, что красивыми бывают только цветочки .  Попробуем узнать, какие корни вы называете красивыми...
\( \frac{8(1+{tg}^{2}x)}{1-{tg}^{2}x}+\frac{16tgx}{1-{tg}^{2}x}+\frac{25}{tgx}+7 =0 \)
Ааа, нашел ошибку.
\( {tg}^{3}x-9{tg}^{2}x+15tgx+25=0 \)
Такое?
Дима, я не читал. Потому что я САМ ! Уф... Так и останусь неучем.
Но все равно спасибо.
Почитаю как решу.
____
Трам-пам-пам. К этому уранению прилагается задание... Вот это вообще ужасть ужасная.
б) Найдите сумму всех корней этого уравнения, принадлежщих отрезку\(  [0;140\pi ] \), и выясните, что больше, эта сумма или число 31360.

___
Вторую нашел. Теперь решу, наверно

[tig81]

у меня получилось +15t

[Белый кролик]

у меня получилось +15t

А я уже нашел, неправильно 8+7 сложил. Число 16 для меня кармическое
Умм, какое у Дмитрия вкусное решение, я заценил.

[tig81]

 

[Белый кролик]

Получились корни.
Корни уравнения:
1)\( tgx=1 \)
\( x =\frac{\pi }{4}+\pi n \)
2)\( tg x = 5 \)
\(  x = arctg5 + \pi n \)
Корни ОДЗ:
1)  \( x \neq \pi n \)
2)  \( x \neq \frac{\pi }{4} + \pi n \)
3)  \(  x \neq -\frac{\pi }{4} + \pi n \)
Остался корень:
\(  x = arctg5 + \pi n \).

И как с таким корнем подступиться к этому:

 Найдите сумму всех корней этого уравнения, принадлежщих отрезку\(  [0;140\pi ] \), и выясните, что больше, эта сумма или число 31360 ?
Может кто знает, где водится подобное задание?

Так как уже поздно, то продолжу завтра. Лапочки, спасибо!

[tig81]

И как с таким корнем подступиться к этому:

придавать n различные целые значения и смотреть, какие из них принадлежат указанному промежутку.

[Белый кролик]

придавать n различные целые значения и смотреть, какие из них принадлежат указанному промежутку.

Ну это я немножко умею делать, только с нормальными аркфункциями.
А где живет угол arctg5? Как его вычислить без калькулятора?