Нужна помощь в исследовании функции

[Белый кролик]

2' = 0

Вот оно, ключевое!!!!
Второй кусок правильно нашли.

[zzzebra]

y'' = (4x-1)/ (x-1)^4 ?

[Белый кролик]

Вот так:
y'' = 4(x-1)/ (x-1)^4
Или так:
y'' = 4x-4/ (x-1)^4

Вертик.асимптота х=1.
Горизонтальная у=2.
Не уверен про гориз., пусть проверят.

[zzzebra]

так получается, 4/(x-1)^3 (если сократить (x-1) в числителе и знаменателе)

а наклонных асимптот нет?? и как их вообще вычислить?

[Белый кролик]

Ого, я вас помучал со второй производной! Простите, я не хотел. 
Наклонные я думаю.

[zzzebra]

Белый кролик, я очень Вам благодарна!!!!! За такое терпение )))))

Можно еще вопрос: из первой производной понятно, что экстремумов нет. А как это доказать?

[tig81]

Можно еще вопрос: из первой производной понятно, что экстремумов нет. А как это доказать?

Вспомнить определение точки экстремума. В точке х=х0 функция может достигать экстремум, если в той точке производная равна нулю.

[Белый кролик]

Как-то особенно доказывать не надо. У вас функция монотонно убывающая(она все время убывает-убывает-убывает,все время одно и то же, вот поэтому называют монотонно, какая занудная функция ) на всей области определения и экстемальных значений не принимает.
Но вот "поговорить" о точке разрыва нужно ( в х=1 ваша функция претерпевает разрыв).

[zzzebra]

Белый кролик, tig81, спасибо!!
Можно еще обобщить по асимптотам:
1. наклонных асимптот нет, т. к. К (lim x стрем. +/- беск.) = 2x/(x-1)|x= 2/(x-1)=0
2. горизонтальная асимптота у=2, т.к. B (lim x стрем. +/- беск.) = 2*x/(x-1) = 2
3. Вертикальная асимптота х=1, так как эта точка не входит в область определений

Про точки разрыва нам ничего не говорили, даже не знаю с чего начинать, как можно их выразить?

И еще, нужно указывать нули функции?? у=0, х=0. Таким образом график пересекает начало координат. Верно?

[Белый кролик]

С одной стороны может вам не надо эти точки разрыва... С другой стороны: зачем вам дали разрывную функцию?

Ищут точки пересечения с осями координат. У вас получилась точка А(0;0).
Еще ищут дополнительные точки для графика как в школе, через табличку.

[zzzebra]

В принципе, разобраться в этом будет не лишним... Займусь этим завтра
Еще раз спасибо за помощь!

[Белый кролик]

Пожалуйста.

[zzzebra]

Описала точки разрыва с помощью этой страницы ссылка
У меня получилось, что оба предела равны +/- беск. (один из них +, другой -)
Поэтому точка х=1 точка разрыва 2-го рода
И еще, критических точек ни в первой, ни во второй производно ведь нет??
И чтобы определить знак 1 и 2 производной мы берем только эту точку разрыв. Верно?

[tig81]

И еще, критических точек ни в первой, ни во второй производно ведь нет??

почему? Интересует в частности про вторую.

И чтобы определить знак 1 и 2 производной мы берем только эту точку разрыв. Верно?

Хм... ну как бы да. Т.е. ищем знак первой производной слева и справа от этой точки.

[zzzebra]

Насколько я поняла, чтобы найти критические точки, нужно чтобы y'=0, у''=0.
y'= -2 / (х-1)^2
у''= 4 / (x-1)^3
То есть производные не могут быть равны нулю, так ка знаменатель  не равен нулю

Не так?