Нужна помощь в исследовании функции

[zzzebra]

Доброго времени суток, форумчане! Помогите, пожалуйста, в исследовании функции.
y= 2x/(x-1)
Область определения: x не равно 1
Область значений: (- беск; 1) (1; + беск)
Функция общего вида.
y' = -2/(x-1)^2 (не могу разобраться "минус" только перед двойкой, или перед всей производной?) Критическая точка x=1, Функция всегда отрицательная, значит график всегда убывает
y'' = (x^2+2x-5)/(x-1)^4, критическая точка x=1, и .... (при решении квадратного уравнения нецелые чила. думаю, что нашла вторую производную неправильно)
Вопрос: правильно ли найдены 1 и 2 производные

Заранее спасибо!

[tig81]

(не могу разобраться "минус" только перед двойкой, или перед всей производной?)

Это один и тот же минус, если его поставить перед всей дробью или только производной.

(при решении квадратного уравнения нецелые чила. думаю, что нашла вторую производную неправильно)

Показывайте полный ход решения.

[Белый кролик]

Область определения: x не равно 1

Неверно.

Область значений: (- беск; 1) (1; + беск)

Неверно.
Плаваете в понятиях. Когда спрашивают про область определения, вы должны математическим языком описать какие х (с какого интервала) вы можете брать для своей функции. Вы можете взять для своей функции число с -беск.? Например: -5? А с +беск? А число 0? А число 1? Про область значений: какие значения может принимать функция.

Функция общего вида

Верно. В работе обязательно надо писать исследование. В математике на слово не верят.
Первая производная верно найдена.

Функция всегда отрицательная

Так про функцию не пишут, функция бывает возрастающая-убывающая, производная - положительная-отрицательная.

график всегда убывает

Безграмотно.
Функция убывающая, функция убывает, функция монотонно убывающая.

y' = -2/(x-1)^2

Не важно где минус. Можно вынести перед дробью(предпочтительней) или оставить как у вас. Дела вкуса.

Где точки разрыва? Где асимптоты?
Вторая производная неверна.

Ирочка, я вас обожаю. Я только подумал, а вы уже сделали.

[tig81]

Область определения: x не равно 1

Неверно.

Почему?

[Белый кролик]

А хде интервал? Откуда мне х для своей функции брать?

_____
Как объясняют, что такое число и что такое интервал детям.
Число - это морковка. А интервал - это грядка с морковкой. (то есть "грядка" с числами)

[zzzebra]

Белый кролик, tig81, спасибо большое за ответы! Сама гуманитарий, для меня математика - "темный лес", вот пытаюсь разобраться....
Область определения: (-беск;1) (1;+беск) - разве так неверно?
область значений - у - все действительные числа???
Вот попыталась по-другому найти вторую производную:
y'' = 4/(x-1)^3. Правильно?
Тогда критическая точка х = 1, график на интервале (-беск;1) выгнут вверх, на интервале (1;+беск) выгнут вниз

до асимптот пока не дошла

[Белый кролик]

Область определения: (-беск;1) (1;+беск)
область значений - у - все действительные числа

Вот это совсем другое дело. Правильно.
Вторая производная опять не правильно. Находите по производной частного, плюс при нахождении \( ({x-1)}^{2})' \) пользутесь производной сложной функции:
\( {u}^{n}=n{u}^{n-1}(u)' \)

выгнут вверх,выгнут вниз

Это вы так про выпуклость?

[zzzebra]

а как правильно писать - выпуклый и вогнутый?
y'' = (x^2+2x-3) / (x-1)^4

[Белый кролик]

Опять неправильно.
\( -(\frac{2}{{(x-1)}^{2}})'=-\frac{(2)'{(x-1)}^{2}-2({(x-1)}^{2})'}{{({(x-1)}^{2})}^{2}} \)
Выпукла вверх/выпукла вниз.
Кстати, у вас выпуклости определены неправильно или вы неправильно истолковали символы

[zzzebra]

Белый кролик, еще раз огромное спасибо!
y'' = -(x^2-6x+6) / (x-1)^4

Про выпуклость: вторая производная на интервале (-беск;1) отрицательная, значит график выпуклый вверх,
                                                     на интервале (1;+беск) положительная, значит график выпуклый вниз ??

С асимптотами вообще понять не могу ((((
Горизонтальных асимптот нет, вертикальная асимптота x=1??
Наклонная асимптота: K = -2, b = беск ?

[tig81]

область значений - у - все действительные числа

Вот это совсем другое дело. Правильно.

А почему yєR?
Значению у=2 какое х соответствует?

[Белый кролик]

Неправильно опять. В числителе.
Давайте шагами.
\( (2)'{(x-1)}^{2} \) - чему равен этот кусок?
\( 2({(x-1)}^{2})' \) - а этот?
График не выпуклый, ф-я выпуклая. Правильно. Только функция выпукла вверх на интервале (указать интервал)/функция выпукла вниз на интервале(указать интервал).
Над асимптотами я думаю. потом допишу.

[Белый кролик]

Значению у=2 какое х соответствует?

Уравнение не имеет решений.

tig81 права.

[tig81]

Так что 2 убирайте.
П.С. Область значений редко находится при исследовании.

[zzzebra]

числитель: (x-1)^2 - 4(x-1) = x^2-2x+2-4x+4=x^2-6x+6 )))) опять....... 2' = 0 или нет......
и еще смущает, вот я нашла программу в инете, там вторая производная рассчитывается
ссылка^2&t=elg01