Вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом

[Dazzy]

вычислить объем тела ограниченного параболоидом и конусом, по площади поперечных сечений

[Dlacier]

Для начала предлагаю все это изобразить-сделать хотя бы схематический рисунок.

[Dazzy]

[Dazzy]

можно посчитать через разность двух объемов, но препод не хочет принимать такое решение, говорит что нужно решать через площадь поперечного сечения, я не знаю как делать(
полуоси a=4 b=6

[Dlacier]

Такое решение на самом деле первое, что приходит в голову.)
Значит, препод давал вам формулу, которую необходимо использовать и усвоить.
Как она выглядит?

[Hellko]

в разрезе горизонтальной плоскостью получаем эллипс с вырезаным из него эллипсом?
площадь эллипса \( \pi a b  \) нужно найти зависимость как изменяются a и b от координаты z(для 1 и 2 эллипса)
площадь в сечении будет их разность.
осталось проинтегрировать по высоте z.

[Dazzy]

А как найти зависимость изменения a,b От Z ?

[Hellko]

А как найти зависимость изменения a,b От Z ?

разрезаем фигуру вертикальной плоскостью (y=0) и видим что в сечении парабалоида - парабола задаваемая так: \( 2z=\frac{1}{4}x^2  \)
a - расстояние по х до точки. т.е надо выразить x
\( x=\sqrt{8z} \) это у нас будет a.
b найдем сделав разрез плоскостью x=0

Потом для той фигуры что внутри.
незабудем найти разность площадей.
А потом сложим в стопку их..


хотите разберу пример попроще?
найти объем фигуры вращения \( y=x^2 \)  вокруг оси OY, y_max=4
построим фигуру и увидим что если ее разрезать горизонтальной плоскостью то в сечении получаются окружности площадью \( S=\pi r^2 \) но как же найти r. r это расстояния от оси OY до нашей параболы. его можно выразить из уравнения \( y=x^2 \)
\( x=\sqrt{y} \)
тогда \( S=\pi y \) тогда складываем их в стопку получаем
\( V=\int\limits_0^4 \pi y dy \)

[Hellko]

получилось?
ответы должны совпасть. с предыдущим методом вашего решения.
у меня получилось \( 24\pi-\frac{16\sqrt{3}}{3}\pi \)
проверь меня)