Разложение в степенной ряд

[Seo]

Задание - вычислить (250)^(1/5) с заданной степенью точности воспользовавшись разложением в степенной ряд.
Я привёл функцию к 5*(1-0.92)^(1/5) и раскладываю в ряд Тейлора по формуле (1+x)^a=1+ax+a(a-1)(x^2)/2!+a(a-1)(a-2)(x^3)/3!...
но с ответом не сходится. Всё ли я делаю правильно?

[tig81]

показывайте решение

[renuar911]

Все верно сделали. Только сходимость вялая. Например, я взял ряд тейлора (точнее Маклорена)  20-го порядка и получил приближение 0.6108301374*5=3.054150687
А точное значение 3.017088168....
Точность можно повысить, если взять именно ряд Тейлора с x0=-0.6
Тогда при степени 20 будем иметь  0.6036071714*5=3.018035857  что значительно ближе к точному значению.
Но беда в том, что этот ряд увеличит сложность вычислений:
\( { 0.4}^{a}+ 2.5\,{ 0.4}^{a}a \left( x+ 0.6 \right) + 3.125\,{ 0.4}^{a}
a \left( a- 1.0 \right)  \left( x+ 0.6 \right) ^{2}+ 2.604166667\,{
 0.4}^{a}a \left( a- 1.0 \right)  \left( a- 2.0 \right)  \left( x+ 0.6
 \right) ^{3}+...
 \)

Так что придется пользоваться первым случаем, пусть и не шибко точным.

[Dimka1]

Задание - вычислить (250)^(1/5) с заданной степенью точности воспользовавшись разложением в степенной ряд.
Я привёл функцию к 5*(1-0.92)^(1/5) и раскладываю в ряд Тейлора по формуле (1+x)^a=1+ax+a(a-1)(x^2)/2!+a(a-1)(a-2)(x^3)/3!...
но с ответом не сходится. Всё ли я делаю правильно?

(250)^(1/5)=(243+7)^(1/5)=( 243[1+7/243] )^(1/5)=3*[1+7/243] ^(1/5)

x=7/243 теперь это [1+x] ^(1/5) разложите в ряд и возьмите 2-3 первых слагаемых (в зависимости от точности)

3*(1+1/5*х-2/25*х^2)=3.01708

и не нужно никаких 20 слагаемых

[renuar911]

Точно! Так будет поточней! Вот так оно и движется - поточное производство знаний. Вся хитрость - в малом значении икса!