Найти диагональ параллелограмма, проверьте ответ

[razorkam]

Собственно условие:  Точки М, К к N лежат на сторонах соответственно АВ, ВС и АС треугольника ABC, причём AMKN — параллелограмм, площадь которого составляет 4/9 площади треугольника ABC. Найдите диагональ MN параллелограмма, если известно, что АВ = 21, АС = 12 и /_BAC = 120°.
Решил,получил 2 ответа :2*\( \sqrt{39} \) и \( \sqrt{57} \).
Однако в ответах \( 13 \) и \( 2\sqrt{67} \).
Если согласитесь с ответом,напишу свое решение

[tig81]

пишите решение, мы будем по вашему проверять

[razorkam]

1)найдем площадь ABC.
S(abc)=\( \frac{AB*BC*sin BAC}{2} \)
Она равна \( 63*\sqrt{3} \)
Тогда площадь AMKN=4/9*S(abc)=28\( \sqrt{3} \)
Тр.AMN=Тр.MKN т.к. AMKN-пар-м.
S (AMN)=S(MKN)=S(AMKN)/2
S AMN=\( 14*\sqrt{3} \)
Обозначив AM=KN=y а AN=NK=x выразим площадь тр.AMN через x ,у и угол BAC.
Получим:\( 14*\sqrt{3} \)=\( \frac{x*y*\sqrt{3}}{4} \)
Это одно из уравнений в системе.
Далее,т.к MK паралл. AC то тр.MBK подобен тр.ABC,что несложно доказать.
отсюда \( \frac{MK}{AC}=\frac{BM}{AB} \) Подставив BM=AB-AM и AM=y AN=x получаем
\( x=\frac{252-12*y}{21} \)
Это второе уравнение системы.решаем ее,находим 2 пары x и y: x1=4 y1=14 x2=8 y2=7.
Отсюда находим MN по теореме косинусов.
P.S извиняюсь,если не очень подробно расписал.

[faun93]

razorkam, спасибо большое за решение! Столько времени на эту задачку убила, так и не решила.
Твой ответ совпадает с правильным, у тебя вычислительная ошибка в теореме косинусов. Надеюсь, ты ее давно уже заметил) Еще раз спасибо)