Найти область сходимости ряда

[Hellko]

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{n^n}x^n \)
(2n)! возрастает быстрее чем n^n, а под х я так понимаю может быть только какое то строго определенное число? тогда ряд всегда расходится? независимо от Х.

применил радикальный признак коши.
\( \lim\limits_{n->\infty} \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n^n}x^n}=\lim\limits_{n->\infty} \frac{x}{n} \sqrt[n]{(2n)!} \)
то что под корнем вроде как стремится к бесконечности.

[Hellko]

даже если за х взять 1/n все равно будет расходится.

[tig81]

факториал распишите по формуле Стирлинга

[Hellko]

факториал распишите по формуле Стирлинга

формула стирлинга
\( n!=\sqrt{2\pi n}\cdot \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \)
для (2n)!
\( (2n)!=\sqrt{4\pi n}\cdot \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \)
\( ...= \lim\limits_{n->\infty} \frac{x}{n} \sqrt[n]{\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\sqrt{4\pi n}}=\lim\limits_{n->\infty} \frac{x}{n}\left(\frac{2n}{e}\right)^2\sqrt[2n]{4\pi n}=\lim\limits_{n->\infty} \frac{4n}{e^2}x \)
правильно?
так, он все равно расходится при любом х, разве что х=0