Дифференциальные уравнения, помогите проинтегрировать уравнение

[Klyk]

помогите пожалуйста проинтегрировать уравнение
(sin(y)+y*sin(x)+1/x)dx+(x*cos(y)-cos(x)+1/y)dy=0
заранее спасибо

[tig81]

Что делали? Что не получается?

ДУ в полных дифференциалах

[Klyk]

записывал, выразив y'=..., к уравнению с разделяющимися переменными привести не получается, т.к. уравнение неоднородное, первого порядка, думаю нужно сделать какую-то замену, но никак не могу догадаться - какую.

[tig81]

записывал, выразив y'=..., к уравнению с разделяющимися переменными привести не получается, т.к. уравнение неоднородное, первого порядка, думаю нужно сделать какую-то замену, но никак не могу догадаться - какую.

ДУ в полных дифференциалах

Как-то вы выборочно читаете

[Klyk]

решил, спасибо)

[renuar911]

Задача показалась интересной, проверьте меня:

\( y' ={\frac {\sin( y) +y \sin ( x) +1/x}
{\cos \left( x \right) -x\cos ( y ) +
 1/y} \)

Решение удалось найти лишь в неявном виде:

\( y\cos \left( x \right) -x\sin \left( y \right) +\ln  \left( y \right)
-\ln  \left( x \right) +C=0
 \)

График удивительный (C менял от -3 до 3):



with(plots); implicitplot({(y*cos(x)-x*sin(y)+ln(y)-ln(x)+c,$c = -3 .. 3)}, x = -13 .. 13, y = -20 .. 20, numpoints = 120000, color = black, thickness = 1);

[Dimka1]

Это похоже на плесень.

[renuar911]

Ну вот! А я-то думал - на дерево! 

[disputant]

\( y\cos \left( x \right) -x\sin \left( y \right) +\ln  \left( y \right)
-\ln  \left( x \right) +C=0
 \)

Точно не \( -\ln  \left( y \right) \)?

И, кстати, область определения вроде бы x>0, y>0, нет? Так что как получается плесень в третьем квадранте?

[Hellko]

\( y\cos \left( x \right) -x\sin \left( y \right) +\ln  \left( y \right)
-\ln  \left( x \right) +C=0
 \)

Точно не \( -\ln  \left( y \right) \)?

И, кстати, область определения вроде бы x>0, y>0, нет? Так что как получается плесень в третьем квадранте?

если записать так: \( \ln\frac{y}{x} \) то получится так как на графике.
мне кажется что должно вообще получится логарифм с модулем

[disputant]

И, кстати, область определения вроде бы x>0, y>0, нет? Так что как получается плесень в третьем квадранте?

если записать так: \( \ln\frac{y}{x} \) то получится так как на графике.
мне кажется что должно вообще получится логарифм с модулем

Так так и надо записывать
Нас в детстве учителя и за меньшие грехи наказывали

[Klyk]

так ребята, нету там минуса, общее решение выглядит так:
x*sin(y)-y*cos(x)+ln|x|+ln|y|=C

сама задача это полный дифференциал какой-то функции F(x,y), которую и нужно найти
(sin(y)+y*sin(x)+1/x)dx+(x*cos(y)-cos(x)+1/y)dy=0
(sin(y)+y*sin(x)+1/x)=F'x - (частная производная по х)
(x*cos(y)-cos(x)+1/y)=F'y - (частная производная по у)
dF(x,y)=F'xdx+F'ydy
(F'x)'y=(F'y)'x=sin(x)+cos(y) - (частная производная второго порядка)
дальше, думаю, все очевидно=)

[disputant]

так ребята, нету там минуса, общее решение выглядит так:
x*sin(y)-y*cos(x)+ln|x|+ln|y|=C

Так я о том и писал - что знаки при логарифмах одинаковы (если это вы мне возражали, взгляните внимательно еще раз).