Неопределенные интегралы

[flyAway]

Привет всем! Сейчас я нахожусь в не самой лучшей ситуации - уже четвертый раз завалил контрольную по интегралам, если честно стал немного их ненавидеть. На практики и лекции ofc не ходил, поэтому пришлось заняться самообучением. Перед каждой контрольной по 3-4 часа готовился, прорешивал всевозможные задания разных сложностей, как оказалось - все тщетно, каждый раз когда выдают задания, я не могу врубиться каким способом их решать, при этом выдают какие-то безжалостные и дикие задания. Зачем я все это написал? Я прошу вас помочь мне понять, что же это за рыба такая, неопределенные интегралы. Пока что сложно даются интегралы где нужно использовать подставление под знак дифференциала. С последней контрольной запомнил:
1.\( \int \frac{\sqrt{x+3}}{x+1}dx \)
2.\( \int \frac{dx}{2+{sin(x)}^{2}} \)
3.\( \int \frac {{arctg(x)}^{50}+x}{1+{x}^{2}}dx \)
4.\( \int \frac{x-{e}^{arctg(2x)}}{1+4{x}^{2}}dx \)
5.\( \int \frac {{cos(x)}^{3}}{\sqrt[3]{sin(x)}^{2}}dx \)
6.В знаменателе многочлен умноженый на x
Распишу мою логику решения:
1. Здесь вроде бы все понятно, заменяем \( |\sqrt{x+3}=u; x={u}^{2}-3; dx=2udu| \) дальше все хорошо решается, но при виде таких уравнений я впадаю в ступор, если не сложно, накидайте подобных этому заданий.
2. Вообще без вариантов, замена дает лишние члены в интеграле, которые никак не способствуют дальнейшему решению.
3,4. Эти идут под номером 1 в контрольной, якобы самые легкие. Разбиваю на 2 интеграла, а дальше что? Как я уже сказал подстановка под знак дифференциала у меня не сильна. Никак не могу понять что подставлять.
5. Знаю что заменой, но чего?
6.
Так же, если не сложно, накидайте разных вариантов.

[Dimka1]

В любом деле нужен опыт, а он приходит со временем.
Нет универсальных методов решения интегралов. Есть частные рекомендации использования той или иной подстановки, но она может сработать, а может и нет. Какую брать подстановку подсказывает только интуиция. У Вас опыта в этом направлении мало и интуиция не развита, поэтому плаваете.

На будущее.  Все "хорошие" интегралы берутся математическими пакетами, "плохие" тоже вычисляются, но приближенно. На случай "ядерной войны" есть также таблицы в бумажном виде.  Так что не пропадете.

[tig81]

Примеры решения также можно посмотреть в книгах Рябушко, Данко, Письменный, Каплан, Раевский (ссылка у меня в подписи)

[renuar911]

1) и ежу ясно, что

\( \int \frac{\sqrt{x+a}}{x+b}\, dx=2 \sqrt{x+a}+2 \sqrt{b-a} \cdot arctg\sqrt{\frac{x+a}{b-a}} + C \)

[renuar911]

Опечатался со знаком. Надо так:

\( \int \frac{\sqrt{x+a}}{x+b}\, dx=2 \sqrt{x+a}- 2 \sqrt{b-a} \cdot arctg\sqrt{\frac{x+a}{b-a}} + C \)

Это равносильно

\( \int \frac{\sqrt{x+a}}{x+b}\, dx=2 \sqrt{x+a}- 2 \sqrt{a-b} \cdot Arth\sqrt{\frac{x+a}{a-b}} + C \)


Эх, математика - это такая красотища!

[renuar911]

Более тонкая работа привела к следующему:

\( \int\frac{\sqrt{x+a}}{x+b} dx = 2 \sqrt{x+a} \mp \sqrt{|a-b|} \cdot A + C  \)

Где  при \( a>b \):

\( A=ln \bigg | \frac {\sqrt{x+a}+\sqrt{a-b}}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a-b}}\bigg | \)

при  \( a<b \)

\( A=2 arctg \sqrt{\frac{|a-b|}{x+a}} \)