Исследовать функцию и построить график

[Snshn]

\( y=\frac{2x-7}{x^2-4} \)

1) Обл. определения ф-и
\( D(y):x^2-4=0 \)
       \( x=+/-2 \)
  x принадлежит \( (-\infty;-2)v(-2;2)v(+2;+\infty) \)

2) Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты.
x=2, x=-2 - точки разрыва
Определим тип разрывов
\( \lim_{x \to 2-0} f(x)=\lim \frac{2x-7}{(x-2)(x+2)}=\frac{2*2-7}{(2-0-2)(2-0+2)}=\frac{-1}{-0}=\infty \)
\( \lim_{x \to 2+0} f(x)=\lim \frac{2x-7}{(x-2)(x+2)}=\frac{2*2-7}{(2+0-2)(2+0+2)}=\frac{-1}{+0}=-\infty \)
\( \lim_{x \to -2-0} f(x)=\lim \frac{2x-7}{(x-2)(x+2)}=\frac{-2*2-7}{(-2-0-2)(-2-0+2)}=\frac{-13}{0}=-\infty \)
\( \lim_{x \to -2+0} f(x)=\lim \frac{2x-7}{(x-2)(x+2)}=\frac{-2*2-7}{(-2+0-2)(-2+0+2)}=\frac{-13}{-0}=-\infty \)
3) Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно).
А мне их искать нужно?
4) Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью OX:
\( y=0   =   x=\frac{2x-7}{x^2-4}=0                 \)
OY: 0
\( x=0    =   y=\frac{2*0-7}{0^2-4}=\frac{-7}{-4}=1,75 \)
OY: -2; 2
5) Определить является функция чётной или нечётной

функция ни чётная ни нечётная

6) Определить интервалы возрастания и убывания функции и точки её экстремума

\( \left(\frac{2x-7}{x^2-4}\right)'=\frac{(2x-7)'(x^2-4)-(2x-7)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}=\frac{-2x^2+14x-8}{(x^2-4)^2} \)


Подскажите, пожалуйста, дальнейшие действия.

[renuar911]

Дальше стройте графики, убедитесь в правильности теоретических обоснований, не исключено, что что-то упустили... Короче, проверяйте себя.

[Snshn]

Тип разрыва: разрыв второго рода, так?
А вертикальная асимптота у меня x=2?
Насчет 3 пункта? Мне наклонные асимптоты искать нужно, нет?
4 пункт правильно?
6 пункт, что я могу из вычисленной производной найти? Интервалы возрастания и убывания функции, подставляя цифры из области определения функции? Получается, что я найду тем самым критические точки первого рода?
А если найду 2 производную, то это критические точки второго рода? И это я найду точки перегиба(выпуклость и вогнутость)?

[renuar911]

Вот Ваш график - сравнивайте. Вы много нюансов упустили:

[Snshn]

 
А на вопросы можете ответить?

[renuar911]

На графике все ответы видны.
Пересечения с осями: при x=0; y=7/4
при y=0 ; x=7/2
Вертикальных асимптот у Вас не одна, а две. При \( x=\pm 2 \)
Есть 2 эестремума: локальный минимум и локальный максимум. Их нужно найти по производной.
Есть также точка перегиба. Для этого нужна вторая производная.
Наклонных асимптот нет.
Короче - верно и медленно работать и работать. Другого пути нет.

[Snshn]

\( \left(\frac{2x-7}{x^2-4}\right)'=\frac{(2x-7)'(x^2-4)-(2x-7)(x^2-4)'}{(x^2-4)^2}=\frac{-2x^2+14x-8}{(x^2-4)^2} \)


\( \left(-\frac{2x^2+14x-8}{(x^2-4)^2}\right)=-\frac{4x^3-42x^2+48x-56}{x^6-12x^4+48x^2-64} \)

Чтобы определить точки экстремума, а также точки перегиба нужно в первой производной решить квадратное ур-е?
А во второй кубическое?