Помогите разобраться с пределом

[asergu]

Предел: \( \lim_{x \to  0}\frac{x^2}{\sqrt{1+x\:sinx}-\sqrt{cosx}} \)
Ход решения:

1)Умножаю всю дробь на знаменатель: \( \lim_{x \to  0}\frac{x^2(\sqrt{1+x\;sinx}+\sqrt{cosx})}{1+x\;sinx-cosx} \)

2)Делю дробь на \( x^2 \): \( \lim_{x \to  0}\frac{\sqrt{1+x\;sinx}+\sqrt{cosx}}{\frac{1+x\; sinx}{x^2}-\frac{sinx}{x^2}} \)

Далее:\( \sqrt{1+x\;sinx} \to 1 \)

\( \sqrt{cosx} \to 1 \)
Получаем в числителе  2.

А вот что делать с: \( {\frac{1+x\; sinx}{x^2}-\frac{sinx}{x^2}} \) я не знаю, тем более что в тригонометрии не силён.

В интернете нашел, что: \( \frac{1+x\; sinx}{x^2} = \frac{1-cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\left ( \frac{sin\; x/2}{x/2} \right ) \rightarrow \frac{1}{2} \)

А конечный ответ  \( \lim_{x \to  0}\frac{x^2}{\sqrt{1+x\:sinx}-\sqrt{cosx}}= 4/3 \)

Помогите разобраться как решить.

[renuar911]

Проще всего применить правило Лопиталя  (я лопиталил 2 раза).

Но можно знаменатель разложить в ряд Тейлора. Первый член этого ряда: \( \frac{3}{4}x^2 \)

Отсюда ясен ответ.

Особо ленивым выгодно графически поглазеть:

[asergu]

Проще всего применить правило Лопиталя  (я лопиталил 2 раза).

Можете пожалуйсто подробнее. т.к. у меня не выходит.

[renuar911]

Первую производную знаменателя писать не буду она легкая. Вторая производная:

\( -1/4\,{\frac { \left( \sin \left( x \right) +x\cos \left( x \right)
 \right) ^{2}}{ \left( 1+x\sin \left( x \right)  \right) ^{3/2}}}+1/2
\,{\frac {2\,\cos \left( x \right) -x\sin \left( x \right) }{\sqrt {1+
x\sin \left( x \right) }}}+ \)

\(  +1/4\,{\frac { \left( \sin \left( x \right)
 \right) ^{2}}{ \left( \cos \left( x \right)  \right) ^{3/2}}}+1/2\,
\sqrt {\cos \left( x \right) }
 \)

Если подставите x=0, то получите легко 3/2. Ну а в числителе будет 2.