Определить радиус дна и высоту бака

[olga87]

Здравствуйте. Подскажите пожалуйста решение задачи: Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема V. Стоимость квадратного метра материала идущего на изготовление дна бака равна A руб, а стенок - B руб. Каковы должны быть радиус дна и высота бака, чтобы затраты на материал для его изготовления были наименьшими?
Задачка вроде бы не сложная, но я даже не представляю с чего начать. Заранее спасибо за подсказку.

[renuar911]

Задача несложная. Стоимость бака

\( S=A \pi r^2+B 2 \pi r h \, \to \, min \)

причем объем бака

\( V=\pi r^2 h \)

Из второго тождества выражаешь h, подставляешь в первое. Получаешь зависимость только от r.  Берешь производную, приравниваешь нулю и находишь отптимальное значение радиуса \( r_{opt} \). Затем и \( h_{opt} \)

[olga87]

спасибо большое

[olga87]

Т.е. получается что мы подставляем выделенное h и все приравниваем к нулю. Просто не допойму как потом найти радиус. Нужно взять любые числа?

[renuar911]

Нужно решать в общем виде. То есть чтобы в формулах были A, B, V , Pi

Нулю приравниваете именно производную.

То есть, после подстановки h будет:

\( S=A \pi r^2+\frac{2BV}{r} \)

Это кубическое уравнение имеет экстремум (минимум).
Возьмите производную S по  r  и приравняйте нулю.
Из полученного уравнения выражайте уже оптимальный
радиус r

[olga87]

Попытаюсь разобраться, спасибо

[olga87]

Здравствуйте еще раз. Почти месяц бьюсь с этой задачей но никак не пойму как ее решать. Пожалуйста помогите ее понять и решить.Заранее спасибо

[renuar911]