Матан: док-во предела, пределы, точки разрыва, исследование функции

[Белый кролик]

Трам-пам-пам... Помогите люди,добрые, сами мы неместные...
 
Задание 1. Найти множество определения (не спрашивайте,что это за кваказябр, так написано)функции: \( y = arccos\frac{2x-5}{3} \).
Решение.
Я так понял,что нужно найти область определения и множество значений.
С обл.опр. проблем нет. \( D(f)[1;2] \).
А вот с множеством значений вопросы. Я знаю,что Е(f) y = arccos x \( [0;\pi ] \).
Значит получаю:
\( arccos\frac{2x-5}{3}=0 \)
\( \frac{2x-5}{3}=0 \)
\( x=2,5 \)
 И
\( arccos\frac{2x-5}{3}=\pi  \)
\(  \frac{2x-5}{3}=\pi  \)
\( x=2,5 + \frac{3\pi }{2} \)
Я правильно делаю?
Задание 2. Найти предел \( \lim_{x\rightarrow +\propto }(\sqrt{2{x}^{2}-3x+1}-x) \).
Решение.
\( \lim_{x\rightarrow +\propto }(\sqrt{2{x}^{2}-3x+1}-x)\times \frac{\sqrt{2{x}^{2}-3x+1}+x}{\sqrt{2{x}^{2}-3x+1}+x} \)
\( \frac{{x}^{2}(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}})}{|x|\sqrt{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}})}+x} \)
\( \frac{{x}^{2}(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}})}{x\sqrt{2-\frac{3}{x}+\frac{1}{{x}^{2}})}+x} \)
А дальше у меня получается беск/ноль,что очень мне не нравится...

[wital1984]

я бы не сказал. для функции f(x)=arccos(x) D(f): [-1;1], т.е. аргумент арккосинуса x должен находиться в этом промежутке. Для вашей же функции в этом промежутке должен находиться ваш аргумент арккосинуса:  (2x-5)/3. Т.е. для нахождения области определения нужно решить двойное неравенство.
А область значений можно найти, зная область определения, и свойства фнкции аркосинус (монотонность и непрерывность)

[Белый кролик]

А область значений можно найти, зная область определения, и свойства фнкции аркосинус (монотонность и непрерывность)

Как только прочитал так сразу вспомнил.
Мое множество значений \( [\pi - arccos\frac{1}{3};\pi ] \)

[wital1984]

Нет. Какая область определения?
Что можете сказать о непрерывность вашей фукнции? Ее монотонности?
По повод лимита вроде все верно, а бесконечность делить на ноль = бесконечности

[Белый кролик]

Ага, нашел ошибку
D(f) [1;4]
Тогда E(f) \( [\pi ;2\pi ] \)
Еще предел. Найти предел \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos{x}^{2}}{{x}^{2}sin{x}^{2}} \).
Решение.
Применил э.б.м.
\( \frac{\frac{{x}^{4}}{2}}{x{x}^{2}} \)
Вот с этим запутался.

[wital1984]

E(f) все равно неправильное

[Белый кролик]

E(f) все равно неправильное

Тогда вот так:
\( [0;\pi ] \)

[wital1984]

в точку! 

[Белый кролик]

Еще предел. Найти предел \( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos{x}^{2}}{{x}^{2}sin{x}^{2}} \).
Решение.
Применил э.б.м.
\( \frac{\frac{{x}^{4}}{2}}{x{x}^{2}} \)
Вот с этим запутался.

Или так?
\( \frac{\frac{{x}^{2}}{2}}{x\cdot x} \)
\( 1-cos{x}^{2}\sim \frac{{x}^{2}}{2} \)
\( sin{x}^{2}\sim x \)
\( {x}^{2}\sim x \)
Ну почему степень угла? Какое вредное задание. 

[Dimka1]

1-cosx~x^2/2,
1-cos(x²)~x^4/2

В ответе 1/2

[Белый кролик]

Я в курсе...

[Белый кролик]

\( \frac{\frac{{x}^{4}}{2}}{{x}^{2}{x}^{2}} \)

Был такой вариант. Но вопрос. К косинусу применили э.б.м., к синусу тоже. А \( {x}^{2} \) так и оставили? Так можно?

[Белый кролик]

Разобрался.Дмитрий как всегда прав. 8)