Проверьте решение дифур-а

[Hellko]

Проверьте пожалуйста.

Решить задачу Коши y(1)=2
\( 2xy'+2y=xy^2 \)
сделаем замену
\( u=xy \)
\( y=u/x \)
\( y'=\left(\frac{u}{x}\right)'=\frac{u'x-u}{x^2} \)
подставим:
\( 2u'-2\frac{u}{x}+2\frac{u}{x}=\frac{u^2}{x} \)
\( 2u'=\frac{u^2}{x} \)
\( \int 2\frac{du}{u^2}=\int \frac{dx}{x} \)
\( \frac{-2}{u}=\ln |x| +\ln |C| \)
\( \frac{-2}{xy}=\ln{Cx} \)
найдем константу C.
\( -1=\ln C \)
\( C=e^{-1} \)
ответ:
\( \frac{-2}{xy}=\ln x -1 \)
\( y=\frac{2}{x-x\ln x} \)

вопрос еще, я модуль под логарифмом не потерял? А то почему то везде его убираем.

[renuar911]

Подставил Ваше решение  в исходное ДУ - все верно.

Но более общее решение:

\( y=\frac{2}{\pm x-x\ln x} \)

[Hellko]

Подставил Ваше решение  в исходное ДУ - все верно.

Но более общее решение:

\( y=\frac{2}{\pm x-x\ln x} \)

непойму как получилось ± перед х в знаменателе.
А надо ли оставлять модуль там где xln|x| ?

[renuar911]

Я просто формально подставил в исходное ДУ как с плюсом, так и с минусом. В обоих случаях получил тождество. А почему это так, - надо Вам анализировать.
Надо ли оставлять модуль? Опять же - подставьте это в исходное ДУ и все станет ясно. В математике всегда подстановка решения показывает: верно оно или нет.

[Hellko]

если делать все строго с модулями то.
\( C_1=\pm e^{-1} \)
\( y=\frac{2}{x-x\ln|x|} \)
почему то не сходится. немогу понять почему.

add:
кажется понял. найдя С мы исключили некоторые варианты которые можно было бы получить.
Например если бы мы не нашли С из граничных условий то получили бы -2/(xy)=ln|x|±lnC
зависит от того в знаменателе С или нет.