Определить уравнение кривой в прямоугольной системе координат

[Snka]

Линия задана уравнением в полярной системе координат r=3/8-4cosf. Нужно1) построить линию по точкам начиная от f=0 до f=2п; определить уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало координат совпадает с полюсом, а ось абсцисс - с полярной осью;  привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой
График построила (эллипс) и  пришла к такому уравнению 15Х2-4Х+16y2-4=0, а привести к каноническому виде не получается

[tig81]

выделяйте полный квадрат по переменной х

[Snka]

не совсем поняла. нужно вынести х?

[Hellko]

не совсем поняла. нужно вынести х?

полный квадрат:
\( a^2x^2+2axb+b^2=(ax+b)^2 \)

[Snka]

будет 15х2+2корень15*2+4=(15х+4)2 или я не так поняла?

[Snka]

15 нужно брать в квадрате или из 15 извлекать квадрат? Если из 15 извлекать квадрат, то как?

[Hellko]

15 нужно брать в квадрате или из 15 извлекать квадрат? Если из 15 извлекать квадрат, то как?

называется квадратный корень

[renuar911]

Не надо бежать впереди паровоза.
Уравнение  r=3/8-4cos(f)   - это две окружности (?). В декартовых координатах:

\( \pm\sqrt{x^2+y^2}=\frac{3}{8}-\frac{4x}{\pm\sqrt{x^2+y^2}} \)

Теперь двигайтесь дальше...

Вот две кривые:

\( x^2+y^2-\frac{3}{8}\sqrt{x^2+y^2}+4x=0 \)

\( x^2+y^2+\frac{3}{8}\sqrt{x^2+y^2}+4x=0 \)

Но как составить канонические структуры - я сам пас... Давно такие не решал  
Графики показывают, что это более сложные кривые, нежели окружность и эллипс...



Например, если бы коэфф. был не 3/8, а 2 , то была бы такая кривая:



Окружность получается лишь при нулевом коэффициенте.

[Snka]

Линия задана уравнением в полярной системе координат r=3/8-4cosf. Нужно1) построить линию по точкам начиная от f=0 до f=2п; определить уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало координат совпадает с полюсом, а ось абсцисс - с полярной осью;  привести уравнение к каноническому виду и определить тип кривой
График построила (эллипс) и  пришла к такому уравнению 15Х2-4Х+16y2-4=0, а привести к каноническому виде не получается

прошу прощения, исходное уравнение: r=2/4+cosf

[Snka]

У меня получается одна окружность, как у вас получилось 2??
Уравнение в декартовых координатах: sqrt (х2+y2)=2/(4+x/(sqrtx2+y2))   4sqrt(x2+y2)=2-x    15x2-4x+16y2-4=0

[renuar911]

Ну, хорошо. Введите в   ссылка   команду  polar r=2/4+cos(t)

и получите изображение



Или Вам уже и оригинала в полярной системе недостаточно?

Опять переводите в декартовую систему так, как это сделано для Вашей ошибочной функции.

\( x^2+y^2-\frac{2}{4}\sqrt{x^2+y^2}-x=0 \)

\( x^2+y^2+\frac{2}{4}\sqrt{x^2+y^2}-x=0 \)

( Была бы окружность, если бы не было 2/4 ).

Наберите в Вольфраме сначала

x^2+y^2-2/4*sqrt(x^2+y^2)-x=0

и посмотрите график большого яблока. Затем

x^2+y^2+2/4*sqrt(x^2+y^2)-x=0

и тоже гляньте на малую каплю.

Они, естественно, -  не окружности.
Так что канонизировать нет смысла.
Кстати, Вольфрам дает выражения в явном виде (каждое из двух уравнений - в четырех формах).
Это и ясно, поскольку кривые уже четвертого порядка.

[Hellko]

проблема может быть в том что вольфрам строит графики в полярных координат при любом p
а у нас (в россии?) ограничение ставят p>=0
я так пару типовиков для студентов зафейлил=)

хотя это вроде действительно не окружности.

[Snka]

там действительно получается 1 окружность, я строила не по программе, вручную.Так что в уравнении уверена процентов на 90. Помогите, пожалуйста, привести это уравнение к каноническому виду

[Hellko]

там действительно получается 1 окружность, я строила не по программе, вручную.Так что в уравнении уверена процентов на 90. Помогите, пожалуйста, привести это уравнение к каноническому виду

мне кажется что это не очень окружность.

[renuar911]

Это не окружность, а кривая 4-го порядка. Вот я рассчитал  координаты точек через 10 градусов:

                     t      r       x       y    
                     0,0 1.50, 1.50, 0.000                        
                     10, 1.50, 1.49, 0.131
                     20, 1.48, 1.46, 0.258                            
                     30, 1.47, 1.42, 0.381                          
                     40, 1.44, 1.35, 0.492                          
                     50, 1.41, 1.28, 0.595                            
                     60, 1.36, 1.18, 0.680                          
                     70, 1.32, 1.08, 0.755                          
                     80, 1.27, 0.973, 0.815                            
                     90, 1.20, 0.846, 0.846                            
                    100, 1.14, 0.733, 0.873                            
                    110, 1.07, 0.614, 0.877                            
                    120, 1.00, 0.500, 0.865                          
                    130, 0.923, 0.390, 0.834                          
                    140, 0.842, 0.288, 0.791                        
                    150, 0.759, 0.197, 0.733                          
                    160, 0.674, 0.117, 0.663                          
                   170, 0.587, 0.0512, 0.585                          
                    180, 0.500, 0.000, 0.500                            
                   190, 0.413, -0.0360, 0.411                        
                   200, 0.326, -0.0567, 0.321                          
                   210, 0.241, -0.0624, 0.233                          
                   220, 0.158, -0.0540, 0.148                          
                  230, 0.077, -0.0326, 0.0696                          
                  240, 0.000, -0.000, 0.000                        
                  250, -0.074, 0.0425, -0.0607                          
                  260, -0.143, 0.0919, -0.110                            
                   270, -0.205, 0.144, -0.144                        
                   280, -0.266, 0.204, -0.171                        
                   290, -0.319, 0.261, -0.182                          
                   300, -0.365, 0.315, -0.182                          
                   310, -0.406, 0.368, -0.171                          
                   320, -0.440, 0.414, -0.150                            
                   330, -0.466, 0.450, -0.121                          
                  340, -0.485, 0.478, -0.0844                          
                  350, -0.496, 0.494, -0.0433                          
                   360, -0.500, 0.500, -0.000

Делал в Maple  по проге

Digits := 3; for t from 0 by 10 to 360 do r := evalf(1/2+cos((1/360)*t*Pi)); print(t, r, evalf(r*cos((1/360)*t*Pi)), evalf(r*sin((1/360)*t*Pi))) end do

Еще раз повторю: окружность была бы, если бы Ваше уравнение имело вид:  polar r=cos(t)
Введите это в Вольфрам и убедитесь.