Найти распределение температур в стержне

[invention]

Найти распределение температур в стержне длиной L=1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю. А начальный профиль описывается функцией ф(х)= 100*sin(π*x/L).

Решение U_t=a²U_xx  a² = 0,011 (по формуле  a²=K/ρg)
Граничные условия
U(0,t)= U(L,t)=0
U(x,0)= ф(х)

Пропускаю  вывод
Окончательно  U(x,t)= ∑ С_ne ^-n2π2a2t/L2 sin π*x*n/L
C_n=2/L ∫ ф(ζ) sin π*n*ζ /l dζ

U(x,0)= ∑ С_n sin π*x*n = ф(х)
C_n=2 ∫ ф(х) sin π*n*х  dх

В учебниках пишут что нужно раскладывать, я не очень хорошо понимаю как куда и что нужно подставлять и как изменять n что бы подсчитать температуру в различные моменты времени в середине участка U(L/2,0), так же нужно построить график в любой момент времени. и составить таблицу.  определить точность, как провести эти расчеты вручную