Помогите решить уравнения и неравенства по алгебре

[renuar911]

В последнем примере ответ неверный (1.3) . Должно быть плюс-минус четыре пятых (подставьте в исходное тождество!). Исправляю ошибку:

\( 4\sqrt{t^2-7}=12 \)

\(  \sqrt{t^2-7}=3  \)

\( t^2-7=9 \)

\( t^2=16 \)

[АлексаКошечка]

Спасибо... вот такая глупая ошибка)

[АлексаКошечка]

Вот 1.3 переделанное)

[АлексаКошечка]

Проверьте, пожалуйста, 1.4.. 

[АлексаКошечка]

  2.3 и  2.4 прошу проверить)

[АлексаКошечка]

Ну вот - все уравнения решены. Осталось только решить неравенства и 2.2.)

[renuar911]

2.2 Я уже разложил на два квадратных многочлена. Осталось их только решить и получить 4 корня.

[renuar911]

1.5.

\( \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)}\ge 1 \)

С учетом ОДЗ  должно получиться:

\( -1<x\le 0 \)

\( x<-2 \)

[АлексаКошечка]

Дело в том, что я не могу 2.2 привести к такому виду как у вас.. не получается.. а мне все решение нужно)

[renuar911]

Я решал методом неопределенных коэффициентов. Система четырех уравнений с 4-мя неизвестными оказалась для меня настолько сложной, что я усомнился в верности записи полинома. Решил эту систему, исписав пол-тетради. Либо находите ошибку в записи, либо находите новый подход к разложению, либо просто в лоб примите мою запись, проверив ее  правильность путем перемножения скобок и приведения к исходному полиному.
 Можно так начать: "предположим, имеется такое разложение полинома. Покажем, что оно верно". Ну, - догадались Вы! Такое же тоже возможно.

Вот метод неопределенных коэффициентов. Нужно разложить полином:

\(  {x}^{4}+{\it k_1}\,{x}^{3}+{\it k_2}\,{x}^{2}+{\it k_3}\,x+{\it k_4}=0 \)

в виде

\(  \left( {x}^{2}+{\it A_1}\,x+{\it A_2} \right)  \left( {x}^{2}+{\it B_1}
\,x+{\it B_2} \right) =0
 \)

Раскрывая скобки последнего выражения и сравнивая с исходным полиномом, можно получить систему уравнений:

\( {\it A_1}+{\it B_1}={\it k_1} \)

\( {\it A_2}+{\it A_1}\,{\it B_1}+{\it B_2}={\it k_2} \)

\( {\it A_2}\,{\it B_1}+{\it A_1}\,{\it B_2}={\it k_3} \)

\( {\it A_2}\,{\it B_2}={\it k_4} \)

В Вашем случае:
\( {\it A_1}+{\it B_1}=-3 \)

\( {\it A_2}+{\it A_1}\,{\it B_1}+{\it B_2}=1 \)

\( {\it A_2}\,{\it B_1}+{\it A_1}\,{\it B_2}=-3 \)

\( {\it A_2}\,{\it B_2}=1 \)
 
(Эту систему решить очень легко, если догадаться, что \( A_2=1 \, ; \quad B_2=1  \)  )

Решение :\( A_1=-\frac{3-\sqrt{13}}{2}\,;\quad A_2=1 \,; \quad B_1=-\frac{3+\sqrt{13}}{2}\,;\quad B_2=1 \,  \)

Следовательно:

\(  \left( {x}^{2}-\frac{ 3-\sqrt {13} }{2} x+1 \right)  \left(
{x}^{2}-\frac{ 3+\sqrt {13} }{2} x+1 \right)=0
 \)

Теперь ищите корни двух квадратных уравнений. Они будут ну очень радикальные!

\( x_{1,2}=\frac{1}{4}\bigg [  3-\sqrt{13}\pm i \sqrt{6(\sqrt{13}-1)}\bigg ] \)

\( x_{3,4}=\frac{1}{4}\bigg [  3+\sqrt{13}\pm \sqrt{6(\sqrt{13}+1)}\bigg ] \)

[renuar911]

Действительные корни: \( x_3=0.337203004 \,; \quad x_4= 2.965572634 \)

Первые два корня - комплексные. Верность результатов доказывает график:

[АлексаКошечка]

Спасибо Вам большое,  renuar911! Остались неравенства их, я думаю, методом интервалав все быстренько прорешаю)