Вычислить предел по правилу Лопиталя

[Mutlu]

Здравствуйте, проверьте пожалуйста правильно ли решено,
Спасибо!
\( \lim\limits_{x \to 1}\frac{1-x}{1-sin{\frac{\pi\cdot{x}}{2}}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(1-x)'}{(1-sin{\frac{\pi\cdot{x}}{2}})'}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{-1}{-\cos{\frac{\pi}{2}x}\cdot{\left(\frac{\pi}{2}x\right)'}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{-1}{-\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}x}}={\frac{-1}{0}}=\infty \)

[Белый кролик]

У вас же ноль в знаменателе получается.На ноль делить нельзя.  Для этого и применяют правило Лопиталя. "Пролопитальте " еще раз.

[Mutlu]

У вас же ноль в знаменателе получается.На ноль делить нельзя.  Для этого и применяют правило Лопиталя. "Пролопитальте " еще раз.

\( \lim\limits_{x \to 1}\frac{1-x}{1-sin{\frac{\pi\cdot{x}}{2}}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(1-x)'}{(1-sin{\frac{\pi\cdot{x}}{2}})'}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{-1}{-\cos{\frac{\pi}{2}x}\cdot{\left(\frac{\pi}{2}x\right)'}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{-1}{-\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}x}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(-1)'}{(-\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}x})'}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{0}{-\frac{\pi}{2}\sin{(\frac{\pi}{2}x})'}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{0}{-\frac{\pi}{2}\sin{\frac{\pi}{2}x}}=0 \)

[Белый кролик]

Вот теперь правильно.

[Mutlu]

Вот теперь правильно.

Спасибо!

[Белый кролик]

Пожалуйста.

[Mutlu]

Пожалуйста.

Если кому интересно, то правильный ответ был такой, как и был у меня изначально
\( \lim\limits_{x \to 1}\frac{1-x}{1-sin{\frac{\pi\cdot{x}}{2}}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{(1-x)'}{(1-sin{\frac{\pi\cdot{x}}{2}})'}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{-1}{-\cos{\frac{\pi}{2}x}\cdot{\left(\frac{\pi}{2}x\right)'}}=\lim\limits_{x \to 1}\frac{-1}{-\frac{\pi}{2}\cos{\frac{\pi}{2}x}}={\frac{-1}{0}}=\infty \)
И лопиталить второй раз не надо было, -1 на 0 это бесконечность. Препод вчера это подтвердил.

[tig81]

-1 на 0 это бесконечность.

это - бесконечность

[Mutlu]

-1 на 0 это бесконечность.

это - бесконечность

Ну да, я как всегда не внимательный

[tig81]

 

[renuar911]

А теперь правильный ответ:

\( \lim \limits_{x \to 1^{-}} \frac{1-x}{1-\sin(0.5 \pi x)}=+\infty \)

\( \lim \limits_{x \to 1^{+}} \frac{1-x}{1-\sin(0.5 \pi x)}=-\infty \)

Вот доказательство (ведь простое деление отрицательного числа на ноль):

[Белый кролик]

Извиняюсь, матан учил сам посредством книг, может не так понял вот это:
" Первое правило Лопиталя. Пусть множество \( {C}_{\sigma } \) представляет собой проколотую \( \sigma  \) -окрестность точки а, функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на \( {C}_{\sigma } \), и кроме того, производная g'(x) не обращается на  \( {C}_{\sigma } \) в нуль. Пусть, далее, \( \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0 \). Тогда существует (конечный или бесконечный предел) \( \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \) , то существует предел  \( \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} \) , причем справедливо соотношение \( \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)." (стр.235)
Из книги В.А. Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов "Математический анализ.Часть 1.3-е издание. Издательство Проспект. Издательство Московского университета, 2006г"
Или вот.
ссылка