Не решить пример. Тема прогрессии

[renuar911]

Я знаю лишь общую формулу (это из моей коллекции красивых тождеств):

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{q^n}=\frac{q(q+1)}{(q-1)^3} \)

Подставляете q=3 и получаете ответ  

[Белый кролик]

Ренуар, вот только на вас была надежда.
А где можно посмотреть полную коллекцию красивых формул?

[renuar911]

Она готовится к публикации. На эту же тему еще одна потрясающе красивая формула:

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x^2}{q^x} dx = \frac{2}{\big [ ln(p_1)+ln(p_2)+...+ln(p_k) \big ]^3} \)

где q - целое число;

\( p_1 ; p_2 ; ... ; p_k \)  - все делители числа q

При q=3:

\( \int \limits_{0}^{\infty }\!{\frac {{x}^{2}}{{3}^{x}}}{dx}=\frac{2}{\left[ \ln
 \left( 3 \right)  \right] ^3} \approx 1.50833 \)

что немного больше  \( \frac{3}{2} \)

[renuar911]

Это, конечно, шутка, потому что

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x^2}{q^x} dx = \frac{2}{\big [ ln(q) \big ]^3} \)

[Matem1]

Спасибо огромное
А можно спросить - как доказывается это тождество?
Но мне кажется, здесь ждут какого-то другого решения... С доказательством как минимум

[Matem1]

Тут в этом же разделе есть следующие задания:
1/2+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n+...

[renuar911]

Этот пример простой. В общем случае

\( \sum \limits_{n=1}^{m}\frac{2n-1}{2^n}=3-\frac{3}{2^m}-\frac{m}{2^{m-1}} \)

При устремлении m к бесконечности два последних слагаемых обнуляются и ответ - точно 3

Аналогично можно решать и первый пример.

\( \sum \limits_{n=1}^{m}\frac{n^2}{3^n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\bigg (\frac{m+1}{3^{m-1}}+\frac{m^2}{3^m}\bigg ) \)

В данных примерах вся хитрость - в умении аппроксимировать первые несколько членов-сумм ряда. Далее - нахождение предела.