Найти частные производные первого порядка функции

[Snshn]

\( z=3xy^3-sin(x^2+y)+\frac{{x+y}}{{x-y}} \)
В первом действует правило - \( y'=u'v'(v^3)' \)
\( y'=(3xy^3)'=3y^2 \)
Во втором - \( (u(v))'=u'(v)v' \)
\( y'=(sin(x^2+y))'=2x cos(x^2+y) \)
В третьем - \( \frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2} \)
\( y'=\frac{{x+y}}{{x-y}}=\frac{2(x-y)-2(x+y)}{x-y^2} \)
Правильно ли я решил, подскажите, пожалуйста.

[tig81]

  А что это у вас за новые правила?
У вас даже в названии написано про частные  производные, где они у вас? Что такое частная производная?

[Snshn]

Ах, да. Оказывается, я совсем не то делал.
Мне нужно производную ф-ю по переменной x
\( z=3xy^3-sin(x^2+y)+\frac{{x+y}}{{x-y}} \)
1) \( z'=(3y^3x)'=3y^3(x)'=3y^3*1=3y^3 \)
2) \( z'=(sin(x^2+y))'=cos(x^2+y)(x^2+y)'=cos(x^2+y)(x^2)'+(y)'=2xcos(x^2+y) \)
3) С последним что-то не могу разобраться...
\( \frac{dy}{dx}=\frac{dy*du}{du*dx} \)
\( \frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2} \)

[tig81]

Ах, да. Оказывается, я совсем не то делал.
Мне нужно производную ф-ю по переменной x

и, наверное, по переменной у

\( z=3xy^3-sin(x^2+y)+\frac{{x+y}}{{x-y}} \)
1) \( z'=(3y^3x)'=3y^3(x)'=3y^3*1=3y^3 \)

почему не указано, по какой переменной дифференцируете? \( z'_x? \) \( z'_y? \)
1), 2), 3) пишите без \( z' \) слева, т.к. это не производная всей функции, а некоторая часть
1) верно

2) \( z'=(sin(x^2+y))'=cos(x^2+y)(x^2+y)'=cos(x^2+y)(x^2)'+(y)'=2xcos(x^2+y) \)

да, только перед последним равно сумму в скобки

3) С последним что-то не могу разобраться...

Производная частного, если дифференцируете по х, у константа

[Snshn]

\( z=3xy^3-sin(x^2+y)+\frac{{x+y}}{{x-y}} \)
1) \( z_x=(3y^3x)'=3y^3(x)'=3y^3*1=3y^3 \)
2) \( z_x=(sin(x^2+y))'=cos(x^2+y)(x^2+y)'=2xcos(x^2+y) \)
3) \( z_x=\frac{{x+y}}{{x-y}}=\frac{({x+y})'({x-y})-({x+y})({x-y})'}{({x-y})^2} \) \( =\frac{2(x-y)-(x+y)}{(x-y)^2} \)
А ответ написан такой: \( -2\frac{y}{(x-y)^2} \)
В чем у меня ошибка? Что я не так делаю?

1) \( z_y=(3xy^3)'=3x*3y^2=9xy^2 \)
2) \( z_y=(sin(x^2+y))'=cos(x^2+y)(x^2+y)'=x^2*cos(x^2+y) \)
Тут тоже совсем другой ответ: \( z_y=cos(x^2+y) \)

[Snshn]

\( z=3xy^3-sin(x^2+y)+\frac{{x+y}}{{x-y}} \)
2) \( z_y=(sin(x^2+y))'=cos(x^2+y)(x^2+y)'=cos(x^2+y) \)
С этим разобрался.

[tig81]

т.е. все получилось?

[Snshn]

Неа, с этим не могу разобраться
3) \( z_x=\frac{{x+y}}{{x-y}}=\frac{({x+y})'({x-y})-({x+y})({x-y})'}{({x-y})^2} \) \( =\frac{2(x-y)-(x+y)}{(x-y)^2} \)
А ответ написан такой: \( -2\frac{y}{(x-y)^2} \)
В чем у меня ошибка? Что я не так делаю? И также \( z_y \) не сходится с ответом.

[tig81]

Оформление конечно дикое.
В последнем выражении в числителе откуда взялася двойка в числителе?

[Snshn]

Да я просто пробую, и так, и сяк...
Не получается(
Я хоть в том направлении думаю, что нужно воспользоваться 1 формулой, чтобы выразить оттуда x, либо y?
\( \frac{dy}{dx}=\frac{dy*du}{du*dx} \)
А этим правилом дифференцирования потом?
\( \frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2} \)

[tig81]

Да я просто пробую, и так, и сяк...

надо делать правильно

Я хоть в том направлении думаю, что нужно воспользоваться 1 формулой, чтобы выразить оттуда x, либо y?

О какой первой формуле идет речь и что вы хотите из нее выразить?

А этим правилом дифференцирования потом?

Потом, это когда?

\( \frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2} \)

Формула неверна, слева нет производной. Пользуйтесь этой формулой, только правильно дифференцируйте.

П.С. Та вы так и не ответили на вопрос, откуда 2 взялась.

[Snshn]

Уже, если честно, не припомню...
Скажите, как может в числителе получится 2y??
Если использовать это правило дифференцирования \( (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \)
То получается же, что в числителе в любом случае остается \( (x+y)(x-y) \)

[tig81]

Подставьте все в формулу, которую вы записали, найдите производные, упростите.

[Snshn]

\( z_x=\frac{{x+y}}{{x-y}}=\frac{({x+y})'({x-y})-({x+y})({x-y})'}{({x-y})^2} \) \( =\frac{(1+y)(x-y)-(x+y)(1-y)}{(x-y)^2} \) = \( -2\frac{y}{(x-y)^2} \)

\( z_y=\frac{{x+y}}{{x-y}}=\frac{({x+y})'({x-y})-({x+y})({x-y})'}{({x-y})^2} \) \( =\frac{(x+1)(x-y)-(x+y)(x-1)}{(x-y)^2} \) = \( 2\frac{x}{(x-y)^2} \)

[tig81]

Т.е. теперь получилось?

\( z_x=\frac{{x+y}}{{x-y}} \)

Т.е. \( \left(\frac{{x+y}}{{x-y}}\right)' \)